Папа, Маша и Яша вместе идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа?

   Решение

Хорды AC и BD окружности с центром O пересекаются в точке K. Пусть M и N – центры описанных окружностей треугольников AKB и CKD соответственно. Докажите, что  OM = KN.

   Решение

Правильный треугольник разбит на n² одинаковых правильных треугольников (рис.). Часть из них занумерована числами 1, 2,..., m, причем треугольники с последовательными номерами имеют смежные стороны. Докажите, что mn² - n + 1.

   Решение

Тема:    [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Правильный треугольник разбит на n² одинаковых правильных треугольников (рис.). Часть из них занумерована числами 1, 2,..., m, причем треугольники с последовательными номерами имеют смежные стороны. Докажите, что mn² - n + 1.

Решение

Раскрасим треугольники, как показано на рис. Тогда черных треугольников будет 1 + 2 +...+ n = n(n + 1)/2, а белых 1 + 2 +...+ (n - 1) = n(n - 1)/2. Ясно, что два треугольника с последовательными номерами разноцветные. Поэтому среди занумерованных треугольников черных может быть только на 1 больше, чем белых. Следовательно, общее число занумерованных треугольников не превосходит n(n - 1) + 1.

Источники и прецеденты использования