Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?

   Решение

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, H — точка пересечения высот. Докажите, что a² + b² + c² = 9R² - OH².

   Решение

Даны два многочлена P(x) и Q(x) положительной степени, причём  P(P(x)) ≡ Q(Q(x))  и  P(P(P(x))) ≡ Q(Q(Q(x))).
Обязательно ли тогда  P(x) ≡ Q(x)?

   Решение

На плоскости дан квадрат 8×8, разбитый на клеточки 1×1. Его покрывают прямоугольными равнобедренными треугольниками (два треугольника закрывают одну клетку). Имеется 64 черных и 64 белых треугольника. Рассматриваются "правильные" покрытия – такие, что каждые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует правильных покрытий?

   Решение

Докажите, что количество частей, на которые данные прямые разбивают плоскость, равно 1 + n + ((P) - 1), причем среди этих частей 2n неограниченных.

   Решение

Тема:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что количество частей, на которые данные прямые разбивают плоскость, равно 1 + n + ((P) - 1), причем среди этих частей 2n неограниченных.

Решение

Доказательство проведем индукцией по n. Для двух прямых утверждение очевидно. Предположим, что утверждение верно для n - 1 прямых, и рассмотрим систему, состоящую из n прямых. Пусть f — количество частей, на которые данные n прямых разбивают плоскость; g = 1 + n + ((P) - 1). Выбросим из данной системы одну прямую и для полученной системы прямых определим аналогичным образом числа f' и g'. Если на выброшенной прямой лежит k точек пересечения прямых, то f' = f - k - 1 и  g' = 1 + (n - 1) + ((P) - 1). Легко проверить, что ((P) - 1) = - k + ((P) - 1). По предположению индукции f' = g'. Поэтому f = f' + k + 1 = g' + k + 1 = g. Ясно также, что количество неограниченных частей равно 2n.

Источники и прецеденты использования