Версия для печати
Убрать все задачи

---

Федя из трёх равных треугольников составил несколько различных фигур (одна из них изображена на рисунке слева). Затем из всех имеющихся фигур он сложил "стрелку" так, как показано на рисунке справа. Нарисуйте отдельно каждую из Фединых фигур и покажите, как из них можно сложить "стрелку".

   Решение

Тема:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ]

Сложность: 7 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Части, на которые плоскость разрезана прямыми. раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета (см. задачу 27.1). Пусть a -- количество красных частей, b — количество синих частей. Докажите, что

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда красные области — треугольники и углы.

Решение

Пусть a_k' — количество красных k-угольников, a' — количество ограниченных красных областей, количество отрезков, на которые данные прямые разбиты точками их пересечения, равно (P) - n (см. задачу 25.10.1). Каждый отрезок является стороной не более чем одного красного многоугольника, поэтому 3a'ka_k'(P) - n, причем одно неравенство достигается тогда и только тогда, когда нет красных k-угольников, где k > 3, а другое неравенство достигается тогда и только тогда, когда любой отрезок является стороной красного k-угольника, т. е. любая неограниченная красная область является углом.
Количество ограниченных областей равно 1 - n + ((P) - 1) = c (см. задачу 25.11.1). поэтому количество b' ограниченных синих областей равно c - a'1 - n + ((P) - 1) - ((P) - n)/3 = 1 - (2n/3) + (2(P)/3 - 1). Цвета 2n неограниченных областей чередуются, поэтому b = b' + n1 + (n/3) + (2(P)/3 - 1) и  a = a' + n(2n + (P))/3, а значит, 2b - a2 + ((P) - 2).

Источники и прецеденты использования