Пусть p – полупериметр остроугольного треугольника ABC, q – полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.
Докажите, что  p : q = R : r,  где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

   Решение

AB — диаметр окружности, BC и CDA — касательная и секущая. Найдите отношение CD : DA, если BC равно радиусу окружности.

   Решение

В трапеции ABCD основание  AB = a,  основание  CD = b  (a < b).  Окружность, проходящая через вершины A, B и C, касается стороны AD.
Найдите диагональ AC.

   Решение

Дано число x, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство

[] = []?

   Решение

Докажите, что две непересекающиеся окружности S₁ и S₂ (или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.

   Решение

Темы:    [ Свойства инверсии ] [ Концентрические окружности ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 7 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что две непересекающиеся окружности S₁ и S₂ (или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.

Решение

Возьмем из прямой, соединяющей центры O₁ и O₂ окружностей, точку C так, чтобы касательные, проведенные к окружностям из точки C, были равны. Эту точку C можно построить, проведя радикальную ось окружностей (см. задачу 3.53). Пусть l -- длина этих касательных. Окружность S радиуса l с центром в C перпендикулярна S₁ и S₂. Поэтому при инверсии с центром O, где O — любая из точек пересечения окружности S с прямой O₁O₂, S перейдет в прямую, перпендикулярную окружностям S₁^* и S₂^* и, следовательно, проходящую через их центры. Но прямая O₁O₂ тоже проходит через центры S₁^* и S₂^*, поэтому окружности S₁^* и S₂^* концентричны, т. е. O — центр искомой инверсии.
В случае, когда S₂ не окружность, а прямая, роль прямой O₁O₂ играет перпендикуляр, опущенный из точки O₁ на S₂, точка C будет точкой его пересечения с S₂, а l — длиной касательной, проведенной из C к S₁.
Замечание. Точка O является предельной точкой пучка окружностей, заданного окружностями S₁ и S₂.

Источники и прецеденты использования