Версия для печати
Убрать все задачи

---

В школе изучают 2n предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два ученика не учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать, что один из них учится лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не больше   .
(Мы считаем, что ученик p учится лучше ученика q, если у p оценки по всем предметам не ниже, чем у q, а по некоторым предметам – выше.)

   Решение

---

Точка, лежащая внутри описанного n-угольника, соединена отрезками со всеми вершинами и точками касания. Образовавшиеся при этом треугольники попеременно окрашены в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведению площадей синих треугольников.

   Решение

---

Решить в натуральных числах уравнение   x^2y + (x + 1)^2y = (x + 2)^2y.

   Решение

---

Докажите, что многочлен

не имеет кратных корней.

   Решение

---

На круглой поляне радиуса R растут три круглые сосны одинакового диаметра. Центры их стволов находятся на расстоянии от центра поляны в вершинах равностороннего треугольника. Два человека, выйдя одновременно из диаметрально противоположных точек поляны, обходят поляну по краю с одинаковой скоростью и в одном направлении и всё время не видят друг друга. Увидят ли друг друга три человека, если они так же будут обходить поляну, выйдя из точек, находящихся в вершинах вписанного в поляну правильного треугольника?

   Решение

Темы:    [ Свойства инверсии ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Через точку A проведена прямая l, пересекающая окружность S с центром O в точках M и N и не проходящая через O. Пусть M' и N' — точки, симметричные M и N относительно OA, а A' — точка пересечения прямых MN' и M'N. Докажите, что A' совпадает с образом точки A при инверсии относительно S (и, следовательно, не зависит от выбора прямой l).

Решение

Пусть точка A лежит вне S, тогда A' лежит внутри S и MA'N = ( MN+ M'N')/2 = MN = MON, т. е. четырехугольник MNOA' вписанный. Но при инверсии относительно S прямая MN перейдет в окружность, проходящую через точки M, N, O (задача 28.2). Поэтому точка A^* (образ A при инверсии) лежит на описанной окружности четырехугольника MNOA'. По тем же причинам точки A' и A^* принадлежат и окружности, проходящей через M', N' и O. Но эти две окружности не могут иметь других общих точек, кроме O и A'. Следовательно, A^* = A'.
В случае, когда A лежит внутри S, применим уже доказанное к прямой MN' и точке A' (она находится вне S). Получим, что A = (A')^*. Но тогда A' = A^*.

Источники и прецеденты использования