Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точки A' и B' — образы точек A и B при инверсии относительно некоторой окружности. Докажите, что точки A , B , A' и B' лежат на одной окружности.

   Решение

---

В таблицу записано девять чисел:

Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой: Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её столбцов:   a₁b₁c₁ + a₂b₂c₂ + a₃b₃c₃ = a₁a₂a₃ + b₁b₂b₃ + c₁c₂c₃.

   Решение

---

Докажите, что

   Решение

---

Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках A и B.

   Решение

Темы:    [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Касающиеся окружности ] [ Окружность, вписанная в угол ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках A и B.

Решение

Пусть C — вершина данного угла. При инверсии с центром в точке A прямая CB перейдет в окружность S, а окружности S₁ и S₂ — в окружность S₁^* с центром O₁, касающуюся S в точке B^*, и прямую l, параллельную C^*A, касающуюся S₁^* в точке X (рис.). Проведем в окружности S радиус OD C^*A. Точки O, B^* и O₁ лежат на одной прямой, a OD| O₁X. Поэтому OB^*D = 90^o - DOB^*/2 = 90^o - (XO₁B^*/2) = O₁B^*X, следовательно, точка X лежит на прямой DB^*. Еще раз применив инверсию, получим, что искомое множество точек касания — это дуга AB окружности, проходящей через точки A, B и D^*.

Источники и прецеденты использования