ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58390
Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b и c — комплексные числа, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что комплексное число $ {\frac{1}{2}}$(a + b + c - $ \bar{a}$bc) соответствует основанию высоты, опущенной из вершины a на сторону bc.

Решение

Мы воспользуемся двумя фактами: 1) ортоцентром треугольника abc служит точка a + b + c (задача 13.13); 2) точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной окружности (задача 5.9).
Пусть z — точка, в которой продолжение высоты, опущенной из вершины a, пересекает описанную окружность. Тогда z$ \bar{z}$ = 1 и число $ {\frac{a-z}{b-c}}$ чисто мнимое. Поэтому

$\displaystyle {\frac{a-z}{b-c}}$ = - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a}-\frac{1}{z}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{z}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a}-\frac{1}{z}}\right)$$\displaystyle \left/\vphantom{
\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)}\right.$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{b}-\frac{1}{c}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{b}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{c}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{b}-\frac{1}{c}}\right)$ = - $\displaystyle {\frac{a-z}{b-c}}$ . $\displaystyle {\frac{bc}{az}}$.

Таким образом, z = - bc/a = - $ \bar{a}$bc.
Искомая точка x является серединой отрезка, соединяющего точки z и a + b + c, поэтому x = $ {\frac{1}{2}}$(a + b + c - $ \bar{a}$bc).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 3
Название Комплексные числа
Тема Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер 29.024B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .