Информация о задаче

Задача 58390

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b и c — комплексные числа, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что комплексное число ${\frac{1}{2}}$ (a + b + c - $\bar{a}$ bc) соответствует основанию высоты, опущенной из вершины a на сторону bc.

Решение

Мы воспользуемся двумя фактами: 1) ортоцентром треугольника abc служит точка a + b + c (задача 13.13); 2) точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной окружности (задача 5.9).
Пусть z — точка, в которой продолжение высоты, опущенной из вершины a, пересекает описанную окружность. Тогда z $\bar{z}$ = 1 и число ${\frac{a-z}{b-c}}$ чисто мнимое. Поэтому

$\displaystyle {\frac{a-z}{b-c}}$ = - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a}-\frac{1}{z}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{a}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{z}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a}-\frac{1}{z}}\right)$ $\displaystyle \left/\vphantom{ \left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)}\right.$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{b}-\frac{1}{c}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{b}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{c}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{b}-\frac{1}{c}}\right)$ = - $\displaystyle {\frac{a-z}{b-c}}$ ^. $\displaystyle {\frac{bc}{az}}$ .

Таким образом, z = - bc/a = - $\bar{a}$ bc.
Искомая точка x является серединой отрезка, соединяющего точки z и a + b + c, поэтому x = ${\frac{1}{2}}$ (a + b + c - $\bar{a}$ bc).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.024B