ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58398
Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны треугольник ABC и прямая l, проходящая через центр O вписанной окружности. Обозначим через A1 (соответственно B1, C1) основание перпендикуляра, опущенного на прямую l из точки A (соответственно B, C), а через A2 (соответственно B2, C2) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной BC (соответственно CA, AB). Докажите, что прямые A1A2, B1B2, C1C2, пересекаются в одной точке, и эта точка лежит на вписанной окружности.

Решение

Обозначим через A3 (соответственно B3, C3) отличную от A2 (соответственно B2, C2) точку пересечения прямой A1A2 (соответственно B1B2, C1C2) со вписанной окружностью. Нужно доказать, что эти три точки совпадают.
Расположим треугольник ABC на комплексной плоскости так, чтобы вписанная окружность совпала с единичной окружностью с центром в нуле, а прямая l — с вещественной осью. Пусть a, b, c — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, CA, AB соответственно. Тогда согласно задаче 29.22.1 A = 2bc/(b + c). Поэтому A1 = $ \Re$A = (A + $ \bar{A}$)/2 = bc/(b + c) + $ \bar{b}$$ \bar{c}$/($ \bar{b}$ + $ \bar{c}$). Но

$\displaystyle {\frac{\bar b\bar c}{\bar b+\bar c}}$ = $\displaystyle {\frac{b\bar b\bar c+\bar bc\bar c}{(b+c)(\bar b+\bar c)}}$ = $\displaystyle {\frac{\vert b\vert^2\bar c+\vert c\vert^2\bar b}{(b+c)(\bar b+\bar c)}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{b+c}}$.

Значит, A1 = bc/(b + c) + 1/(b + c) = (1 + bc)/(b + c). Ясно, что A2 = - a. Поэтому согласно задаче 29.23

A3 = $\displaystyle {\frac{1+\frac{1+bc}{b+c}a}{\frac{1+bc}{b+c}+a}}$ = $\displaystyle {\frac{a+b+c+abc}{1+ab+bc+ca}}$.

Аналогично доказывается, что B3 и C3 тоже равны этому комплексному числу.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 3
Название Комплексные числа
Тема Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер 29.024

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .