Условие
Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно
треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите,
что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна
прямой Эйлера треугольника ACD.
Решение
Достаточно рассмотреть случай, когда точкам A, B, C, D соответствуют
комплексные числа a, b, c, d, лежащие на единичной окружности с центром
в нуле. Согласно задаче 29.24B основаниями перпендикуляров, опущенных из
точки A на прямые BC и CD, являются точки
x = 
(a + b + c - 
bc)
и
y = (a + c + d - cd ). Направление прямой Симсона точки A
относительно треугольника BCD задаётся числом
2(x - y) = (1 - c)(b - d )= (a - c)(b - d ). Направление прямой Эйлера
треугольника BCD задаётся числом b + c + d. Эти две прямые перпендикулярны
тогда и только тогда, когда число
чисто
мнимое, т. е.
Это равенство после сокращений приводится к следующему симметричному виду:
ab +
ac +
ad +
bc +
bd +
cd = 0.
Источники и прецеденты использования
