Информация о задаче

Задача 58399

Темы:	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]
	[	Прямая Симсона	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите, что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника ACD.

Решение

Достаточно рассмотреть случай, когда точкам A, B, C, D соответствуют комплексные числа a, b, c, d, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Согласно задаче 29.24B основаниями перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые BC и CD, являются точки x = ${\frac{1}{2}}$ (a + b + c - $\bar{a}$ bc) и y = ${\frac{1}{2}}$ (a + c + d - $\bar{a}$ cd ). Направление прямой Симсона точки A относительно треугольника BCD задаётся числом 2(x - y) = (1 - $\bar{a}$ c)(b - d )= $\bar{a}$ (a - c)(b - d ). Направление прямой Эйлера треугольника BCD задаётся числом b + c + d. Эти две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда число ${\frac{\bar a(a-c)(b-d)}{b+c+d}}$ чисто мнимое, т. е.

$\displaystyle {\frac{1}{a}}$ ^. $\displaystyle {\frac{(a-c)(b-d)}{b+c+d}}$ = - a $\displaystyle {\frac{\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{d}\right)}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}}$ .

Это равенство после сокращений приводится к следующему симметричному виду: ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.030B