а) Через точку P проводятся всевозможные секущие окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности S, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AC и BD.

   Решение

Тема:    [ Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность ]

Сложность: 6+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

а) Через точку P проводятся всевозможные секущие окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности S, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AC и BD.

Решение

Рассмотрим отдельно два случая.
1. Точка P лежит вне S. Сделаем проективное преобразование, при котором окружность S перейдет в окружность, а точка P — в бесконечно удаленную точку (см. задачу 30.17), т. е. образы всех прямых, проходящих через P, будут друг другу параллельны. Тогда в задаче б) образом искомого ГМТ является прямая l — их общий перпендикуляр, проходящий через центр окружности, а в задаче а) — прямая l, из которой выкинут диаметр окружности. (Для доказательства нужно воспользоваться симметрией относительно прямой l.) Следовательно, само искомое ГМТ для задачи б) есть прямая, проходящая через точки касания S с касательными, проведенными через точку P, а для задачи б) — лежащая вне S часть этой прямой.
2. Точка P лежит внутри S. Сделаем проективное преобразование, при котором окружность S перейдет в окружность, а точка P — в ее центр (см. задачу 30.16, а)). Тогда в обеих задачах образом искомого ГМТ является бесконечно удаленная прямая. Следовательно, само искомое ГМТ есть прямая.
Полученная прямая в обоих случаях совпадает с полярой точки P относительно S (см. задачу 30.19).

Источники и прецеденты использования