Известно, что число n является суммой квадратов трёх натуральных чисел. Показать, что число n² тоже является суммой квадратов трёх натуральных чисел.

   Решение

Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD. Боковые стороны AB и CD касаются окружности в точках M и N, K – середина AD.
В каком отношении прямая BK делит отрезок MN?

   Решение

Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.

   Решение

Имеется m точек, некоторые из которых соединены отрезками так, что каждая соединена с l точками. Какие значения может принимать l?

   Решение

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC. Hа продолжениях катетов AB и AC за вершины B и C отложили равные отрезки BK и CL. E и F – точки пересечения отрезка KL и прямых, перпендикулярных KC и проходящих через точки B и A соответственно. БикЮ Докажите, что  EF = FL.

   Решение

Имеется 10 отрезков, причём известно, что длина каждого – целое число сантиметров. Два самых коротких отрезка – по сантиметру, самый длинный – 50 см. Докажите, что среди отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.

   Решение

Отметим на прямой красным цветом все точки вида  81x + 100y,  где x, y – натуральные, и синим цветом – остальные целые точки.
Найдите на прямой такую точку, что любые симметричные относительно неё целые точки окрашены в разные цвета.

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Центральная симметрия ] [ Системы точек ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Отметим на прямой красным цветом все точки вида  81x + 100y,  где x, y – натуральные, и синим цветом – остальные целые точки.
Найдите на прямой такую точку, что любые симметричные относительно неё целые точки окрашены в разные цвета.

Решение

  Решим задачу сразу в общем виде, заменив 81 и 100 на взаимно простые натуральные числа a и b, большие 2.
  Ясно, что все все точки с координатами, меньшими  a + b,  – синие (а сама точка  a + b  – красная). Из решения задачи 60526 видно, что точка ab – синяя, а все точки с бóльшими ординатами – красные. Следовательно, искомой может быть только точка  ½ (ab + a + b).  Это значит, что для каждого целого ровно одно из уравнений  x + by = c  и  ax + by = ab + a + b – c  имеет натуральные решения. Докажем, что это действительно так.
  Из задачи 60525 а) следует, что уравнение  ax + by = c  имеет решение  (x₀, y₀),  где  1 ≤ x₀ ≤ b.  Тогда  (b + 1 – x₀, 1 – y₀)  – решение уравнения
ax + by = ab + a + b – c.  Если  y₀ > 0,  то мы нашли натуральное решение первого уравнения, а если  y₀ ≤ 0,  то – второго.
  Пусть оба уравнения имеют натуральные решения. Тогда сумма этих двух решений является решением уравнения  ax + by = ab + a + b.  Но это уравнение имеет только два натуральных решения:  (1, a + 1)  и  (b + 1, 1).  Ни одно из них не может быть суммой двух пар натуральных чисел.

Ответ

Точка с координатой 4140,5.

Замечания

Ср. с задачей 73729.

Источники и прецеденты использования