Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если  ВМ = 8 см,  KC = 1 см  и  АВ > ВС.

   Решение

В окружность радиуса 10 вписан четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны 12 и  10.  Найдите стороны четырёхугольника.

   Решение

Найдите все значения корней:
  a)  ;   б)  ;   в)  ;   г)  ;   д)  ;   е)  .

   Решение

Существует следующий способ проверить, делится ли данное число N на 19:
  1) отбрасываем последнюю цифру у числа N;
  2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной цифры на 2;
  3) с полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19.
  4) если остается 19, то 19 делится на N, в противном случае N не делится на 19.
Докажите справедливость этого признака делимости.

   Решение

``65 = 64 = 63''. Тождество Кассини лежит в основе одного геометрического парадокса. Он заключается в том, что можно взять шахматную доску, разрезать ее на четыре части, как показано ниже, а затем составить из этих же частей прямоугольник:

Как расположить те же четыре части шахматной доски, чтобы доказать равенство ``64=63''?

   Решение

Пусть z₁, ..., z_n – отличные от нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости  α < arg z < α + π.  Докажите, что
  а)  z₁ + ... + z_n ≠ 0;
  б)  ¹/_z1 + ... + ¹/_zn ≠ 0.

   Решение

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и проекции одного из катетов на гипотенузу.

   Решение

Найдите все числа вида 13xy45z,  которые делятяс на 792.

   Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P.
Найдите  AP² + BP² + CP² + DP²  и  AB² + BC² + CD² + AD².

   Решение

Докажите, что при любом натуральном n число  n² + 8n + 15  не делится на  n + 4.

   Решение

Известно, что  z + z^–1 = 2 cos α.
  а) Докажите, что  zⁿ + z^–n = 2 cos nα.
  б) Как выражается  zⁿ + z^–n  через  y = z + z^–1?

   Решение

Правильный треугольник ABC вписан в окружность. Прямая l, проходящая через середину стороны AB и параллельная AC, пересекает дугу AB, не содержащую C, в точке K. Докажите, что отношение  AK : BK  равно отношению стороны правильного пятиугольника к его диагонали.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся двух данных концентрических окружностей и данной прямой.

   Решение

Найдите наименьшее число вида  n = 2^αpq,  где p и q – некоторые нечётные простые числа, для которого  σ(n) = 3n.

   Решение

Тема:    [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10 Название задачи: Задача Ферма.

Прислать комментарий

Условие

Найдите наименьшее число вида  n = 2^αpq,  где p и q – некоторые нечётные простые числа, для которого  σ(n) = 3n.

Решение

  Заметим, что  σ(120) = 360 = 3·120.
  Пусть  p < q  и  n = 2^αpq < 120.  Тогда  p ≥ 3,  q ≥ 5,  pq ≥ 15,  значит,  α < 3.
  3·2^αpq = σ(n) = (2^α+1 – 1)(p + 1)(q + 1),  следовательно,  2^α+1 – 1  делится на q.
  2² – 1  делится только на 3, а  2³ – 1  – только на 7. Поэтому  α = 2,  q = 7,  p = 3 или 5.  Но  4·5·7 > 120,  а  σ(4·3·7) = 7·4·8  не делится на 3.

Ответ

n = 120.

Источники и прецеденты использования