Точка M лежит вне угла AOB, OC – биссектриса этого угла. Докажите, что угол MOC равен полусумме углов AOM и BOM.

   Решение

На линейке длиной 9 см нет делений.
Нанесите на неё три промежуточных деления так, чтобы ею можно было измерять расстояние от 1 до 9 см с точностью до 1 см.

   Решение

Постройте треугольник ABC, если известны длина биссектрисы CD и длины отрезков AD и BD, на которые она делит сторону AB.

   Решение

Какую фигуру образует множество всех вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание?

   Решение

Предположим, что число α задано бесконечной цепной дробью  α = [a₀; a₁, ..., a_n, ...].  Докажите, что     где Q_k – знаменатели подходящих дробей.

   Решение

Дано 17 натуральных чисел: a₁, a₂, ..., a₁₇. Известно, что     Доказать, что  a₁ = a₂ = ... = a₁₇.

   Решение

Возможно ли, чтобы одна биссектриса треугольника делила пополам другую биссектрису?

   Решение

Известно, что при пересечении прямых a и b третьей прямой образовалось 8 углов. Четыре из этих углов равны 80°, а четыре других равны 100°.
Следует ли из этого, что прямые a и b параллельны?

   Решение

Разлагая число ^a/_b в непрерывную дробь, решите в целых числах уравнения  ax – by = 1,  если
  a)  a = 101,  b = 13;   б)  a = 79,  b = 19.

   Решение

Темы:    [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Разлагая число ^a/_b в непрерывную дробь, решите в целых числах уравнения  ax – by = 1,  если
  a)  a = 101,  b = 13;   б)  a = 79,  b = 19.

Решение

  a)  ¹⁰¹/₁₃ = [7; 1, 3, 3].  [7; 1, 3] = ³¹/₄,  поэтому (см. задачу 60603)  (4, 13)  – частное решение данного уравнения. Общее решение находится по формуле из задачи 60514.

  б)  ⁷⁹/₁₉ = [4; 6, 3].  [4; 6] = ²⁵/₆,  поэтому  (–6, –25)  – частное решение.

Ответ

а)  x_k = 4 + 13k,  y_k = 31 + 101k  (k ∈ Z);   б)  x_k = – 6 + 19k,  y_k = – 25 + 79k  (k ∈ Z).

Источники и прецеденты использования