Натуральное число N в 999...99 (k девяток) раз больше суммы своиx цифр. Укажите все возможные значения k и для каждого из них приведите пример такого числа.

   Решение

Докажите, что   ½ – ⅓ + ¼ – ⅕ + ... + ¹/₉₈ – ¹/₉₉ + ¹/₁₀₀ > ⅕.

   Решение

Темы:    [ Малая теорема Ферма ] [ Комбинаторика орбит ] [ Правило произведения ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

p – простое число. Сколько существует способов раскрасить вершины правильного p-угольника в a цветов? (Раскраски, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми.)

Решение

Забудем временно про совмещение раскрасок поворотами. Тогда p вершин можно раскрасить a^p способами (см. задачу 60348). Среди этих раскрасок есть a одноцветных. Каждая из оставшихся совмещается с p раскрасками (считая исходную). Поэтому различных неодноцветных раскрасок в p раз меньше:    .

Ответ

  способов.

Замечания

1. Из этого результата немедленно следует малая теорема Ферма (см. задачу 60736).

2. Подумайте, почему важна простота числа p.

Источники и прецеденты использования