Правильный (2n+1)-угольник разбили диагоналями на  2n – 1  треугольник. Докажите, что среди них по крайней мере три равнобедренных.

   Решение

В равнобедренном треугольнике MPK с основанием PM  ∠P = arctg ⁵/₁₂.  Окружность, вписанная в угол K, касается стороны KP в точке A и отсекает от основания отрезок HE. Известно, что центр окружности удалён от вершины K на расстояние ¹³/₂₄ и  AP = ⁶/₅.  Найдите площадь треугольника HAE.

   Решение

Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.

   Решение

Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Докажите, что они пересекаются.

   Решение

В пятиугольнике ABCDE углы ABC и AED – прямые,  AB = AE  и  BC = CD = DE.  Диагонали BD и CE пересекаются в точке F.
Докажите, что  FA = AB.

   Решение

Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу пополам. Найдите углы треугольника.

   Решение

Докажите, что у равнобедренного треугольника высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.

   Решение

Пусть m₁(x), ..., m_n(x) – попарно взаимно простые многочлены, a₁(x), ..., a_n(x) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен p(x), что
    p(x) ≡ a₁(x) (mod m₁(x)),
      ...
    p(x) ≡ a_n(x) (mod m_n(x))
и  deg p(x) < deg m₁(x) + ... + deg m_n(x).

   Решение

Темы:    [ Китайская теорема об остатках ] [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11 Название задачи: Китайская теорема об остатках для многочленов.

Прислать комментарий

Условие

Пусть m₁(x), ..., m_n(x) – попарно взаимно простые многочлены, a₁(x), ..., a_n(x) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен p(x), что
    p(x) ≡ a₁(x) (mod m₁(x)),
      ...
    p(x) ≡ a_n(x) (mod m_n(x))
и  deg p(x) < deg m₁(x) + ... + deg m_n(x).

Подсказка

Докажите утверждение индукцией по n.

Источники и прецеденты использования