ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60991
Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Алгоритм Евклида ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде  P(x)U(x) + Q(x)V(x):
  а)  P(x) = x4 + x³ – 3x² – 4x – 1,  Q(x) = x³ + x² – x – 1;
  б)  P(x) = 3x4 – 5x³ + 4x² – 2x + 1,  Q(x) = 3x³ – 2x² + x – 1.


Ответ

а)  D(x) = x + 1 = – P(x)(2/3 x1/3) + Q(x)(2/3 x² – 1/3 x4/3);
б)  D(x) = 1 = P(x)(3x² + x – 1) – Q(x)(3x³ – 2x² – x + 2).

Замечания

В п. а) НОД можно искать не только по алгоритму Евклида, но и разложением на множители:  Q(x) = (x – 1)(x² – 1) = (x – 1)²(x + 1).
Многочлены U(x) и V(x) можно искать также методом неопределенных коэффициентов.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 2
Название Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер 06.068

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .