ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61020
Темы:    [ Производная и кратные корни ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Постройте многочлен R(x) из задачи 61019, если:
  а)  P(x) = x6 – 6x4 – 4x3 + 9x2 + 12x + 4;
  б)  P(x) = x5 + x4 – 2x3 – 2x2 + x + 1.


Решение

  а)   P'(x) = 6x5 – 24x3 – 12x2 + 18x + 12 = 6(x5 – 4x3 – 2x5 + 3x + 2).  Применяя алгоритм Евклида, находим, что
Q(x) = НОД(P(x), P'(x)) = x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2,  а  R(x) = P(x)/Q(x) = x2x – 2.

 б) Первый способ.  P'(x) = 5x4 + 4x3 – 6x2 – 4x + 1.  Q(x) = НОД(P(x), P'(x)) = x3 + x2x – 1,  а  R(x) = P(x}/Q(x) = x2 – 1.
  Второй способ.  x5 + x4 – 2x3 – 2x2 + x + 1 = (x5 – 2x3 + x) + (x4 – 2x2 + 1) = (x + 1)(x2 – 1)2 = (x + 1)3(x – 1)2.  Следовательно,
R(x) = (x + 1)(x – 1).


Ответ

а)   x2x – 2;   б)   x2 – 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 4
Название Многочлены с кратными корнями
Тема Многочлены (прочее)
задача
Номер 06.097

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .