Задача 61020

Темы:    [ Производная и кратные корни ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Постройте многочлен R(x) из задачи 61019, если:
  а)  P(x) = x⁶ – 6x⁴ – 4x³ + 9x² + 12x + 4;
  б)  P(x) = x⁵ + x⁴ – 2x³ – 2x² + x + 1.

Решение

  а)   P'(x) = 6x⁵ – 24x³ – 12x² + 18x + 12 = 6(x⁵ – 4x³ – 2x⁵ + 3x + 2).  Применяя алгоритм Евклида, находим, что
Q(x) = НОД(P(x), P'(x)) = x⁴ + x³ – 3x² – 5x – 2,  а  R(x) = ^P(x)/_Q(x) = x² – x – 2.

 б) Первый способ.  P'(x) = 5x⁴ + 4x³ – 6x² – 4x + 1.  Q(x) = НОД(P(x), P'(x)) = x³ + x² – x – 1,  а  R(x) = ^P(x}/_Q(x) = x² – 1.
  Второй способ.  x⁵ + x⁴ – 2x³ – 2x² + x + 1 = (x⁵ – 2x³ + x) + (x⁴ – 2x² + 1) = (x + 1)(x² – 1)² = (x + 1)³(x – 1)².  Следовательно,
R(x) = (x + 1)(x – 1).

Ответ

а)   x² – x – 2;   б)   x² – 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	4
Название	Многочлены с кратными корнями
Тема	Многочлены (прочее)
задача
Номер	06.097