Задача 61031

Темы:    [ Тождественные преобразования ] [ Симметрические многочлены ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Известно, что  a + b + c = 0,  a² + b² + c² = 1.  Найдите  a⁴ + b⁴ + c⁴.

Решение 1

a⁴ + b⁴ + c⁴ = (a + b + c)⁴ + 4abc(a + b + c) + 2(ab + bc + ac)² – 4(a + b + c)²(ab + bc + ac)  (см. задачу 61030 е). При наших условиях
a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2·(½)² = ½.

Решение 2

a + b = – c,  a² + b² = 1 – c².  Отсюда  2ab = (a + b)² – (a² + b²) = 2c² – 1,
a⁴ + b⁴ + c⁴ = (a² + b²)² – 2a²b² + c⁴ = (1 – c²)² – ½ (2c² – 1)² + c⁴ = (1 – 2c² + c⁴) – (2c⁴ – 2c² + ½) + c⁴ = ½.

Решение 3

Заметим, что  2(ab + bc + ac) = (a + b + c)² – (a² + b² + c²) = –1.  Положим  q = abc.  Числа a, b, c являются корнями уравнения
x³ – ½ x – q = 0.  Каждый корень этого уравнения удовлетворяет соотношению  x⁴ = x(½ x + q) = ½ x² + qx.  Поэтому
a⁴ + b⁴ + c⁴ = ½ (a² + b² + c²) + q(a + b + c) = ½.

Ответ

½.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	5
Название	Теорема Виета
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.108