Задача 61064

Темы:    [ Системы линейных уравнений ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Рациональные функции (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Решите систему

   

(a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n – различные числа.)

Подсказка

Рассмотрите функцию  

Решение

  Рассмотрим функцию     По условию она обращается в ноль при t = a₁, ..., a_n. После приведения к общему знаменателю в числителе получается приведённый многочлен степени n. Следовательно,  
  Отсюда  (t – a₁)...(t – a_n) = (t – b₁)...(t – b_n) – x₁(t – b₂)...(t – b_n) – ... – x_n(t – b₁)...(t – b_n–1). Подставляя  t = b_i,  находим x_i.

Ответ

 

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	6
Название	Интерполяционный многочлен Лагранжа
Тема	Многочлены (прочее)
задача
Номер	06.141