|
|
 |
Условие
Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна n²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна n ctg π/2n;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно nn/2.
Подсказка
а) Воспользуйтесь задачей 57080.
б) Воспользуйтесь задачей 61123 б).
в) Воспользуйтесь задачей 61202 а)-б).
Решение
а) Согласно задаче 57080 сумма квадратов расстояний от каждой вершины n-угольника до всех остальных вершин равна 2n. Поскольку квадрат каждой из сторон и диагоналей входит ровно в две из n таких сумм, искомая сумма равна n².
б) Достаточно найти сумму расстояний от одной вершины до всех остальных, а затем умножить её на n/2. Пусть O – центр правильного многоугольника A0A1...An–1, φ = π/n. ∠AkOA0 = 2kφ (или 2π – 2kφ), поэтому AkA0 = 2 sin kφ,
(согласно задаче 61123 б).
в) Достаточно найти произведение расстояний от одной вершины до всех остальных, а затем возвести его в степень n/2. Из решения б) получаем
При нечётном n = 2m + 1, согласно задаче 61202 а), получаем
при чётном n = 2m, согласно задаче 61202 б), получаем то же самое:
то есть A1A0·...·An–1A0 = n.
Замечания
В книге Прасолова предлагался только п. а).
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 7 |
| Название | Комплексные числа |
| Тема | Неизвестная тема |
| параграф | |
| Номер | 2 |
| Название | Преобразования комплексной плоскости |
| Тема | Неизвестная тема |
| задача | |
| Номер | 07.094 |
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 6 |
| Название | Многоугольники |
| Тема | Многоугольники |
| параграф | |
| Номер | 6 |
| Название | Правильные многоугольники |
| Тема | Правильные многоугольники |
| задача | |
| Номер | 06.068 |
