ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61158
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Вычисления. Метрические соотношения в многоугольниках ]
[ Момент инерции ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна n²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  n ctg π/2n;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  nn/2.


Подсказка

а) Воспользуйтесь задачей 57080.
б) Воспользуйтесь задачей 61123 б).
в) Воспользуйтесь задачей 61202 а)-б).


Решение

  а) Согласно задаче 57080 сумма квадратов расстояний от каждой вершины n-угольника до всех остальных вершин равна 2n. Поскольку квадрат каждой из сторон и диагоналей входит ровно в две из n таких сумм, искомая сумма равна n².

  б) Достаточно найти сумму расстояний от одной вершины до всех остальных, а затем умножить её на n/2. Пусть O – центр правильного многоугольника A0A1...An–1,  φ = π/n.   ∠AkOA0 = 2kφ  (или  2π – 2kφ),  поэтому  AkA0 = 2 sin kφ,

  (согласно задаче 61123 б).

   в) Достаточно найти произведение расстояний от одной вершины до всех остальных, а затем возвести его в степень n/2. Из решения б) получаем

  При нечётном  n = 2m + 1,  согласно задаче 61202 а), получаем  

при чётном  n = 2m,  согласно задаче 61202 б), получаем то же самое:  

то есть  A1A0·...·An–1A0 = n.

Замечания

В книге Прасолова предлагался только п. а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 7
Название Комплексные числа
Тема Неизвестная тема
параграф
Номер 2
Название Преобразования комплексной плоскости
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 07.094
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 6
Название Правильные многоугольники
Тема Правильные многоугольники
задача
Номер 06.068

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .