Условие
Предположим, что цепные дроби 
сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к
корням многочлена x² – px + q = 0. С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу
61328):
xn+1 = xn – 
= 
. Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x1, x2, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.
Подсказка
Решение аналогично решению задачи 61316. Рассмотрим случай дроби α. Соответствующие подходящие дроби Pk/Qk удовлетворяют рекуррентным соотношениям P–1 = 1, P0 = 1, Pk = pPk–1 – qPk–2; Q–1 = 0, Q0 = 1, Qk = pQk–1 – qQk–2. Легко проверить, что при этом Pk = Qk+1.
Пусть xn совпадает с некоторой подходящей дробью Pk/Qk. Заменив в цепной дроби Pk+1/Qk+1 последний знаменатель на xn, мы получим "более длинную" подходящую дробь 
что и требовалось.
Источники и прецеденты использования
