В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна b. Расстояние между основаниями биссектрис треугольника, проведённых к боковым сторонам, равно m. Найдите основание треугольника.

   Решение

Существует ли треугольник, который можно разрезать: а) на 3 равных треугольника, подобных исходному?; б) на 5 треугольников, подобных исходному (не обязательно равных)?

   Решение

Докажите неравенства:
  а)   n(x₁ + ... + x_n) ≥ ( + ... + )²
  б)   ≤ + ... + ;
  в)  

  г)     (неравенство Минковского).
  Значения переменных считаются положительными.

   Решение

Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ] [ Выпуклость и вогнутость ] [ Неравенство Иенсена ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите неравенства:
  а)   n(x₁ + ... + x_n) ≥ ( + ... + )²
  б)   ≤ + ... + ;
  в)  

  г)     (неравенство Минковского).
  Значения переменных считаются положительными.

Подсказка

Это – частные случаи неравенства Иенсена (задача 61407) для  α₁ = ... = α_n = ¹/_n  и функций
а)       б)  f(x) = ¹/_x²;     в)  f(x) = e^nx;     г)  f(x) = ¹/_x.

Решение

в) Первый способ. Это – другая запись неравенства Коши.
Второй способ. Поcле замены  y_i = ln x_i  неравенство запишется в виде     а это – неравенство Иенсена для функции e^nx.

Источники и прецеденты использования