ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61512
Темы:    [ Раскладки и разбиения ]
[ Производящие функции ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) – на нечётные. Докажите равенства:

  а)  d(0) + d(1)x + d(2)x² + ...  =  (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)...;

  б)  l(0) + l(1)x + l(2)x² + ...  =  (1 – x)–1(1 – x³)–1(1 – x5)–1...;

   в)  d(n) = l(n)   (n = 0, 1, 2, ...).

(Считается по определению, что  d(0) = l(0) = 1.)


Решение

  а) В соответствии, описанном в решении задачи 61509, чтобы получить одночлен, соответствующий разбиению на различные слагаемые, нужно из каждой скобки брать либо единицу, либо член наименьшей степени. Это и значит, что от каждой скобки останутся только два первых члена. В результате мы и получим правую часть равенства а).

  б) В том же соответствии, чтобы получить одночлен, соответствующий разбиению на нечётные слагаемые, нужно из чётных скобок брать только единицу – фактически в произведении останутся только нечётные скобки, то есть правая часть равенства б).

  в) Первый способ.

(все множители вида  1 – x2k  сокращаются).

  Второй способ. Равенство следует из задачи 61513.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 3
Название Производящие функции
Тема Производящие функции
задача
Номер 11.085

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .