Задача 61512

Темы:    [ Раскладки и разбиения ] [ Производящие функции ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) – на нечётные. Докажите равенства:

  а)  d(0) + d(1)x + d(2)x² + ...  =  (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)...;

  б)  l(0) + l(1)x + l(2)x² + ...  =  (1 – x)^–1(1 – x³)^–1(1 – x⁵)^–1...;

   в)  d(n) = l(n)   (n = 0, 1, 2, ...).

(Считается по определению, что  d(0) = l(0) = 1.)

Решение

  а) В соответствии, описанном в решении задачи 61509, чтобы получить одночлен, соответствующий разбиению на различные слагаемые, нужно из каждой скобки брать либо единицу, либо член наименьшей степени. Это и значит, что от каждой скобки останутся только два первых члена. В результате мы и получим правую часть равенства а).

  б) В том же соответствии, чтобы получить одночлен, соответствующий разбиению на нечётные слагаемые, нужно из чётных скобок брать только единицу – фактически в произведении останутся только нечётные скобки, то есть правая часть равенства б).

  в) Первый способ.

(все множители вида  1 – x^2k  сокращаются).

  Второй способ. Равенство следует из задачи 61513.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	3
Название	Производящие функции
Тема	Производящие функции
задача
Номер	11.085