Задача 64337

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Зайцева Ю.

Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC зафиксированы точки C₁ и A₁ соответственно. Найдите на описанной окружности треугольника ABC такую точку P, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников APC₁ и CPA₁ минимально.

Решение 1

  Пусть K – вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников APC₁ и CPA₁ (рис. слева). Докажем, что K лежит на прямой A₁C₁.
  Пусть точка P лежит на дуге AC. Четырёхугольники AC₁KP и KA₁CP – вписанные, следовательно,  ∠C₁KP = 180° – ∠C₁AP  и  ∠A₁KP = 180° – ∠A₁CP.  С другой стороны, из вписанного четырёхугольника ABCP получаем, что  ∠C₁KP + ∠A₁CP = 180°.  Таким образом,  ∠C₁KP + ∠A₁KP = 180°,  то есть точка K лежит на прямой A₁C₁.
  (Заметим, что доказанное утверждение эквивалентно задаче 56623 а).
  При расположении точки P на дуге AB или BC доказательство аналогично.
  Пусть M_A и M_C – середины отрезков C₁K и A₁K, O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников APC₁ и CPA₁ соответственно. Тогда O₁M_A – серединный перпендикуляр к C₁K, O₂M_C – серединный перпендикуляр к A₁K. Следовательно,  M_AM_C = ½ A₁C₁,  а  O₁O₂ ≥ M_AM_C,  и равенство достигается тогда и только тогда, когда  O₁O₂ || A₁C₁.
 Линия центров O₁O₂ перпендикулярна общей хорде KP, поэтому необходимо найти, при каком положении точки P прямые KP и A₁C₁ перпендикулярны.   В этом случае  ∠C₁KP = 90°.  Четырёхугольник AC₁KP – вписанный, следовательно,  ∠BAP = 90°.  Значит, расстояние между центрами описанных окружностей треугольников APC₁ и CPA₁ минимально, когда точка P диаметрально противоположна точке B.

           

Решение 2

  Центры O₁ и O₂ описанных окружностей треугольников APC₁ и CPA₁ лежат на серединных перпендикулярах FO₁ и QO₂ к отрезкам AC₁ и A₁C (рис. справа). Пусть K – точка пересечения этих перпендикуляров.
  Точки O и O₁ лежат на серединном перпендикуляре LO к отрезку AP, а точки O и O₂ – на серединном перпендикуляре MO к отрезку CP. Четырёхугольник LOMP – вписанный, следовательно,  ∠LOM = 180° – ∠P = ∠B.  Четырёхугольник FBQK – также вписанный, поэтому
∠O₁KO₂ = 180° – ∠B.  Таким образом,  ∠O₁KO₂ + ∠O₁OO₂ = 180°,  то есть и четырёхугольник O₁OO₂K – вписанный. Следовательно,
O₁O₂ = 2R sin ∠O₁KO₂ = 2R sin ∠FKQ,  и длина отрезка O₁O₂ будет минимальной, когда радиус описанной окружности четырёхугольника O₁OO₂K будет минимальным. Поскольку точки O и K – фиксированы, то минимальный диаметр этой окружности равен OK. В этом случае  ∠OO₁K = 90°.  Значит, в четырёхугольнике AFO₁L углы F, O₁ и L равны 90°, следовательно, и угол A равен 90°. Таким образом, PB – диаметр описанной окружности треугольника ABC.
  При другом взаимном расположении точек O₁, O₂, O и K (например, если точка O₁ лежит между точками K и O₂) доказательство аналогично.

Ответ

P диаметрально противоположна точке B.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	11 (2013 год)
Дата	2013-04-14
класс
Класс	8-9 класс
задача
Номер	6