Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Будем говорить, что две пирамиды соприкасаются гранями, если эти пирамиды не имеют общих внутренних точек и некоторая грань одной пирамиды пересекается с некоторой гранью другой пирамиды по многоугольнику. Можно ли расположить восемь пирамид в пространстве так, чтобы каждые две соприкасались гранями?
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке K. Оказалось, что точки B, D, а также середины M и N отрезков AC и KC лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол ADC?
От данного угла двумя прямыми разрезами длиной 1 отрежьте многоугольник наибольшего возможного периметра.
В остроугольном треугольнике $ABC$ $A_M$ – середина стороны $BC$, $A_H$ – основание высоты, опущенной на эту сторону. Аналогично определяются точки $B_M$, $B_H$, $C_M$, $C_H$. Докажите, что одно из отношений $A_MA_H:A_HA$, $B_MB_H:B_HB$, $C_MC_H:C_HC$ равно сумме двух других.
Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.
Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?
|
|
 |
Условие
Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.
Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?
Решение
Если изменить скорости велосипедистов на одну и ту же величину, то расстояния между ними в любой момент времени останутся такими же. Поэтому можно считать, что первый велосипедист стоит на месте в некоторой точке A.
Впишем в данную окружность правильный шестиугольник ABCDEF и обозначим через M и N середины дуг BC и EF соответственно. Пусть второй и третий велосипедисты стартуют из точки M с равными скоростями в противоположных направлениях: второй – к точке B, третий – к точке C (см. рис. слева).
Пока они не достигли этих точек, расстояние между ними меньше 1 км. Затем второй велосипедист будет удален от первого, то есть от точки A, меньше, чем на 1 км, пока не приедет в точку F. Одновременно третий приедет в точку E, и расстояние между вторым и третьим станет равно 1 км. Затем оно уменьшается, пока велосипедисты не встретятся в точке N. Получили расположение, симметричное первоначальному относительно прямой AD, с переменой местами второго и третьего велосипедистов. Далее процесс повторяется.
Ответ
Неверно.
Замечания
Можно показать, что построенный пример – единственный, с точностью до прибавления к скоростям велосипедистов одной и той же величины. Он соответствует случаю, когда скорости образуют арифметическую прогрессию. Во всех остальных случаях обязательно найдётся момент времени, когда расстояния между велосипедистами не только больше 1 км, но даже больше км! Это видно из следующей теоремы.
Теорема. Если в условии задачи скорости велосипедистов не составляют арифметическую прогрессию, то найдётся момент времени, когда три радиуса, проведенные к велосипедистам, образуют тупые углы.
Пользуясь этим фактом, античные астрономы могли бы строго обосновать невозможность геоцентрической системы мира. Причем для этого достаточно было бы рассмотреть движения только трёх небесных тел: Солнца, Венеры и Меркурия.
Обозначим их точками S, V, M соответственно. Предположим, что они вращаются вокруг Земли (точки O) по круговым орбитам. Считаем, что они вращаются в одной плоскости (в реальности плоскости их орбит почти совпадают). Их угловые скорости различны и не составляют арифметическую прогрессию (это известно). Тогда, в некоторый момент времени, все три угла между лучами OS, OM и OV тупые (см. рис. справа). Предположим, наблюдатель находится на поверхности Земли в точке, противоположной направлению луча OS. Он находится на неосвещенной стороне Земли, то есть ночью, и видит Меркурий и Венеру, поскольку углы SOM и SOV – тупые. Угловое расстояние между двумя этими планетами, угол MOV, больше 90°.
Однако, по данным многолетних наблюдений, которыми располагали античные астрономы, угловое расстояние между Меркурием и Венерой никогда не превосходит 76°. Полученное противоречие доказывает невозможность геоцентрической системы с круговыми орбитами.
