Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Император пригласил на праздник 2015 волшебников, добрых и злых, при этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император – нет. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой говорит что угодно. На празднике император сначала выдаёт каждому волшебнику по бумажке с вопросом (требующим ответа "да" или "нет"), затем волшебники отвечают, и после всех ответов император одного изгоняет. Волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. После этого император вновь выдаёт каждому из оставшихся волшебников по бумажке с вопросом, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (это возможно после любого из ответов, и после остановки можно никого не изгонять). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.
Докажите, что правильный треугольник можно
разрезать на n правильных треугольников для любого n, начиная
с шести.
Даны угол и внутри его точки A и B. Постройте
параллелограмм, для которого точки A и B — противоположные
вершины, а две другие вершины лежат на сторонах угла.
В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времени
Пусть в начальный момент времени возбуждена только одна клетка. Сколько клеток будет находится в возбужденном состоянии через
Что будет в том случае, если цепочка не бесконечная, а состоит из
Найдите все натуральные $n$, удовлетворяющие условию: числа $1, 2, 3, \ldots, 2n$ можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа.
а) Группа людей прошла опрос, состоящий из 20 вопросов, на каждый из которых возможно два ответа. После опроса оказалось, что для любых 10 вопросов и любой комбинации ответов на эти вопросы существует человек, давший именно эти ответы на эти вопросы. Обязательно ли найдутся два человека, у которых ответы ни на один вопрос не совпали?
б) Решите ту же задачу, если на каждый вопрос есть 12 вариантов ответа.
В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
С помощью циркуля и линейки проведите через общую точку A окружностей S1 и S2 прямую так, чтобы эти окружности высекали на ней равные хорды.
Натуральные числа от 1 до 100 раскрашены в три цвета: 50 чисел – в красный, 25 чисел – в жёлтый и 25 – в зелёный. Известно, что все красные и жёлтые числа можно разбить на 25 троек так, чтобы в каждой тройке было два красных числа и одно жёлтое, которое больше одного красного и меньше другого. Аналогичное утверждение верно для красных и зелёных чисел. Обязательно ли все 100 чисел можно разбить на 25 четвёрок, в каждой из которых два красных числа, одно жёлтое и одно зелёное, при этом жёлтое и зелёное числа лежат между красными?
Пусть a^b обозначает число ab. В выражении 7^7^7^7^7^7^7 надо расставить скобки, чтобы определить порядок действий (всего будет 5 пар скобок).
Можно ли расставить эти скобки двумя разными способами так, чтобы получилось одно и то же число?
|
|
 |
Условие
Пусть a^b обозначает число ab. В выражении 7^7^7^7^7^7^7 надо расставить скобки, чтобы определить порядок действий (всего будет 5 пар скобок).
Можно ли расставить эти скобки двумя разными способами так, чтобы получилось одно и то же число?
Решение
(n^7)^(7^7) = n7·77 = (n^(7^7))^7.
Ответ
Можно.
Замечания
Баллы: 8-9 кл. – 4 балла, 10-11 кл. – 3 балла
