На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC взяты точки K и L соответственно, так что  AK + LC = KL.  Из середины M отрезка KL провели прямую, параллельную BC, и эта прямая пересекла сторону AC в точке N. Найдите величину угла KNL.

   Решение

Кресла для зрителей вдоль лыжной трассы занумерованы по порядку: 1, 2, 3, ..., 1000. Кассирша продала n билетов на все первые 100 мест, но n больше 100, так как на некоторые места она продала больше одного билета (при этом  n < 1000).  Зрители входят на трассу по одному.Каждый, подойдя к своему месту, занимает его, если оно свободно, если же занято, говорит "Ох!", идёт в сторону роста номеров до первого свободного места и занимает его. Каждый раз, обнаружив очередное место занятым, он говорит "Ох!". Докажите, что число "охов" не зависит от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.

   Решение

Можно ли подобрать два многочлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами так, что  P – Q,  P и  P + Q  – квадраты некоторых многочленов (причём Q не получается умножением P на число)?

   Решение

Одна под другой выписаны 2^n–1 различных последовательностей из нулей и единиц длины n. Известно, что для любых трёх из выписанных последовательностей найдётся такой номер p, что в p-м разряде у всех трёх стоит 1. Доказать, что в некотором разряде у всех выписанных последовательностей стоит 1 и такой разряд только один.

   Решение

Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s он нее до середины отрезка.)

   Решение

Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ] [ Линейная и полилинейная алгебра ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s он нее до середины отрезка.)

Решение

Отложим самую лёгкую гирю – с массой m. Остальные гири прикрепим слева от середины в разных точках, но так, чтобы для каждой пары гирь гиря с большей массой находилась дальше от центра. Подсчитаем, в какую точку справа надо повесить гирю m, чтобы было равновесие. Покажем, что если надписи перепутаны, то равновесия нет. Действительно, если переставлены только гири слева, то суммарный момент слева стал меньше по транснеравенству (см. задачу 61385). Если дополнительно поменять местами гирю массы m с одной из гирь слева, то момент справа станет больше, а слева еще меньше.

Ответ

Всегда.

Замечания

1. Можно обойтись и без транснеравенства. Подвесим гири m₂, ..., mn слева на расстояниях am₂, ..., am_n от центра (константа a выбирается так, чтобы точка     подвеса гири m не вышла за пределы отрезка). Пусть M₂, ..., M_n – перестановка гирь m₂, ..., m_n. В силу неравенств     новый момент  a(m₂M₂ + ... + m_nM_n)  не превосходит старый     причём равенство будет только тогда, когда
m_i = M_i  при всех i.

2. Фактически в предыдущем замечании доказан частный случай неравенства Коши-Буняковского.

3. Вместо транснеравенства или неравенства Коши-Буняковского можно использовать неравенство Чебышева.

4. По большому счету неравенства вообще не нужны. Нам надо показать, что существует решение уравнения  m₁x₁ + ... + m_nx_n = 0     (*),   не являющееся решением ни одного из уравнений вида  M₁x₁ + ... + M_nx_n = 0     (**),   полученных нетривиальными перестановками коэффициентов. Но пространство решений уравнения (*)  (n–1)-мерно, а пространство решений системы (*), (**)  (n–2)-мерно. Поскольку  (n–1)-мерное пространство нельзя покрыть конечным числом  (n–2)-мерных подпространств, искомое решение существует.

5. Баллы: 8-9 кл. – 8, 10-11 кл. – 6.

Источники и прецеденты использования