Решите в натуральных числах уравнение  (1 + n^k)^l = 1 + n^m,  где  l > 1.

   Решение

На экране компьютера напечатано некоторое натуральное число, кратное 7, и отмечен курсором промежуток между какими-то двумя его соседними цифрами.
Докажите, что существует такая цифра, что если её впечатать в отмеченный промежуток любое число раз, получится число, делящееся на 7.

   Решение

Касательная в точке B к описанной окружности S треугольника ABC пересекает прямую AC в точке K. Из точки K проведена вторая касательная KD к окружности S. Докажите, что BD — симедиана треугольника ABC.

   Решение

Докажите для каждого натурального числа  n > 1  равенство:   [n^1/2] + [n^1/3] + ... + [n^1/n] = [log₂n] + [log₃n] + ... + [log_nn].

   Решение

Несколько (конечное число) точек плоскости окрашены в четыре цвета, причём есть точки каждого цвета. Никакие три из этих точек не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся три разных (возможно, пересекающихся) треугольника, каждый из которых имеет вершины трёх разных цветов и не содержит внутри себя окрашенных точек.

   Решение

Темы:    [ Системы точек ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Несколько (конечное число) точек плоскости окрашены в четыре цвета, причём есть точки каждого цвета. Никакие три из этих точек не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся три разных (возможно, пересекающихся) треугольника, каждый из которых имеет вершины трёх разных цветов и не содержит внутри себя окрашенных точек.

Решение

  Рассмотрим треугольник, наименьший (по площади) среди треугольников с вершинами трёх разных цветов. Внутри него нет окрашенных точек (если бы такая была, то, соединив её с вершинами двух других цветов, мы получили бы меньший треугольник). Пусть это оказался треугольник с вершинами 1-го, 2-го и 3-го цветов.
  Теперь рассмотрим наименьший "разноцветный" треугольник, имеющий вершину 4-го цвета. Пусть это оказался треугольник с вершинами 1-го, 2-го и 4-го цветов. Внутри него не может быть точек этих трёх цветов. Но и точки 3-го цвета быть не может: соединив её с вершинами 1-го и 4-го цветов, мы бы получили меньший по площади треугольник с вершиной 4-го цвета.
  Наконец рассмотрим наименьший "разноцветный" треугольник, имеющий вершины 3-го и 4-го цветов. Аналогично показываем, что и внутри него нет окрашенных точек.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования