|
|
 |
Условие
Пусть O, I – центры описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника; R, r – радиусы этих окружностей; J – точка, симметричная вершине прямого угла относительно I. Найдите OJ.
Решение 1
Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник, ∠C = 90°. Очевидно, что окружность с центром J и радиусом 2r касается AC и BC. Докажем, что она касается также описанной окружности Ω треугольника ABC; отсюда как раз и будет следовать, что OJ = R – 2r.
Рассмотрим окружность ω, касающуюся AC, BC в точках P, Q соответственно, и касающуюся Ω изнутри в точке T; нам надо доказать, что J – центр ω. Так как T – центр гомотетии ω и Ω, прямые TP, TQ вторично пересекают описанную окружность в точках, касательные в которых параллельны AC и BC, то есть в серединах B', A' дуг AC, C. Поэтому прямые AA' и BB' пересекаются в точке I. По теореме Паскаля (см. задачу 57105), применённой к ломаной CAA'TB'B, точки P, I, Q лежат на одной прямой. Поскольку прямая PQ перпендикулярна биссектрисе угла C, P, Q – проекции J на AC и BC, что и означает, что J – центр ω.
Решение 2
По формуле Эйлера (см. задачу 52464) OI² = R(R – 2r). Поскольку OI – медиана треугольника OCJ, 4OI² = 2(OC² + OJ²) – CJ², или
4R(R – 2r) = 2R² + 2OJ² – 8r², откуда и следует, что OJ² = (R – 2r)².
Ответ
R – 2r.
