Постройте окружность, на которой стороны данного треугольника высекают три одинаковые хорды, равные заданному отрезку.

   Решение

На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты точки C₁ и C₂. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, если треугольники ABC₁ и BAC₂ равны.

   Решение

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Средняя линия треугольника ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы:

Прислать комментарий

Условие

Отрезок AD – диаметр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Через точку H пересечения высот этого треугольника провели прямую, параллельную стороне BC, которая пересекает стороны AB и AC в точках E и F соответственно.
Докажите, что периметр треугольника DEF в два раза больше стороны BC.

Решение

  Пусть X и Y – точки пересечения прямых BD и CD с прямой EF (см. рис.). Как известно (см. задачу 108949), точки D и H симметричны относительно середины стороны BC. Отсюда следует, что BC – средняя линия треугольника XYD. Заметим, что углы ABD и ACD – прямые. Поэтому  XE = DE,
YF = DF,  и следовательно,  DE + EF + DF = XE + EF + FY = XY = 2BC.

Источники и прецеденты использования