ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64760
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 5
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть I и J – центры окружностей, вписанных в треугольники ABC и ADC соответственно, а Ia и Ja – центры вневписанных окружностей треугольников ABC и ADC, вписанных в углы BAC и DAC соответственн). Докажите, что точка K пересечения прямых IJa и JIa лежит на биссектрисе угла BCD.


Решение

  Докажем, что точка K лежит внутри четырёхугольника ABCD (см. рис.).

  Заметим, что прямые IIa и JJa пересекаются в точке A. Поскольку  ∠ICJ + ∠ICIa = ½ ∠BCD + 90° < 180°  и аналогично  ∠JCI + ∠JCJa < 180°,  то точка K лежит внутри угла ICJ, а значит, внутри четырёхугольника AICJ и, тем более, внутри ABCD.
  ∠ICIa = ∠JCJa = 90°. Следовательно, биссектрисы углов ICJ и I>IaCJa лежат на одной прямой. Ниже мы докажем, что  ∠ICA = ∠JCK.  Отсюда следует, что  ∠DCK = ∠DCJ + ½ ∠JCK = ½ ∠DCA + ∠ICA = ½ ∠DCA + ½ ∠BCA = ½ ∠DCB,  что равносильно утверждению задачи.

  Указанное равенство можно доказывать по-разному.

  Первый способ. Лемма. Пусть биссектрисы углов XOY и X'OY' лежат на прямой l, Z – точка пересечения прямых XX' и YY', Z' – точка пересечения прямых XY' и X'Y. Тогда прямые OZ и OZ' симметричны относительно l.
  Нам достаточно доказать лемму для случая, когда углы XOX' и YOY' – прямые.
  Доказательство. Опустим перпендикуляры OM, OK, OL и OP на прямые XX', X'Y, XY' и YY' соответственно (см. рис.).

  Обозначим  ∠MKY = α,  ∠PKO = β.  Четырёхугольник MKOX' – вписанный, поэтому  ∠MOX' = ∠MKX' = α.  Поскольку  XOOX'  и
OMXX',  то  ∠MXO = ∠MOX' = α.  Из того, что MXLO – вписанный, следует, что  ∠MLO = ∠MXO = α.
  Четырёхугольник OKYP – вписанный, поэтому  ∠OYP = ∠OKP = β.  Поскольку  YOY'O  и  OPYY',  то  ∠POY' = ∠OYP = β.  И, наконец, из того, что OLPY' – вписанный, получим, что  ∠Y'LP = ∠POY' = β.
  Таким образом,  ∠MKP = 90° + α + β = ∠MLP,  следовательно, MKLP – вписанный четырехугольник. Значит,  ∠MKL + ∠MPL = 180°.
  Заметим, что  ∠MKL = α + 90° + ∠OKL = ∠OX'Z + ∠OZ'L   (*)   (в силу вписанности четырёхугольников X'MKO и OKZ'L). Кроме того,
MPL = ∠MPO + ∠OPL = ∠MZO + ∠OY'Z'   (**)   (поскольку четырёхугольники MOPZ и OLPY' – вписанные).
  Наконец,  ∠OX'Z + ∠MZO = 180° – ∠ZOX'  и  ∠OY'Z' + ∠OZ'L = 180° – ∠Z'OY'.  Сложив левые и правые части этих равенств и левые и правые части равенств (*) и (**), получим, что  ∠ZOX' + ∠Z'OY' = 180°. Следовательно, прямые Z'O и ZO симметричны относительно биссектрисы углов XOY и X'OY'.
  Другие случаи расположения точек рассматриваются аналогично.

  Второй способ. Пусть T, U, V, W – точки пересечения прямых  IIa и CJa,  IJa и CJ,  IaJa и CJ,  CIa и IJa  соответственно (см. рис.).

  Рассмотрев центральную проекцию прямой IIa на прямую CJ с центром Ja и центральную проекцию прямой CJ на прямую IJa с центром Ia,
получаем равенство двойных отношений  (ITIaA) = (UCVJ) = (UWJaK).  Воспользуемся тем, что

  а  

  Кроме того,  sin∠IaCT = sin∠IaCJa,  sin∠TCA = sin∠JaCA,  sin∠WCJa = sin∠IaCJa,  sin∠WCK = sin∠IaCK,  sin∠UCK = sin∠JCK
и  sin∠ICIa = sin∠JCJa = 1.  Следовательно,  
  Положим  ∠JaCI = ∠IaCJ = t,  ∠ICA = x,  а  ∠JCK = y.  Тогда  ,  откуда (используя формулу синуса разности)  x = y,  то есть  ∠ICA = ∠JCK.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 12 (2014 год)
Дата 2014-04-12
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .