В неравнобедренном треугольнике ABC проведены медианы AK и BL . Углы BAK и CBL равны 30^o . Найдите углы треугольника ABC .

   Решение

Через вершину A равностороннего треугольника ABC проведена прямая, не пересекающая отрезок BC. По разные стороны от точки A на этой прямой взяты точки M и N так, что  AM = AN = AB  (точка B внутри угла MAC). Докажите, что прямые AB, AC, BN, CM образуют вписанный четырёхугольник.

   Решение

Существуют ли такие десять попарно различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя
  а) ровно в шесть раз;
  б) ровно в пять раз?

   Решение

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Средние величины ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие десять попарно различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя
  а) ровно в шесть раз;
  б) ровно в пять раз?

Решение

  а) Например, 1, 2, ..., 9, 15. Сумма их равна 60, среднее арифметическое – 6, а НОД равен 1.

  б) Пусть НОД десяти чисел  a₁ < a₂ < ... < a₁₀  равен d. Тогда  a₁ ≥ d,  a₂ ≥ 2d,  ...,  a₁₀ ≥ 10d.  Значит, сумма этих чисел не меньше 55d, а среднее арифметическое не меньше 5,5d.

Ответ

а) Существуют;  б) не существуют.

Замечания

баллы: 2 + 2

Источники и прецеденты использования