Задача 64858

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Прямая Симсона ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Гаркавый А., Соколов А.

Дан фиксированный треугольник ABC. Пусть D – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в D, проходящая через A, пересекает вторично прямые AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Аналогично определяются точки B_a, B_c, C_a и C_b. Точку D назовём хорошей, если точки A_b, A_c, B_a, B_c, C_a и C_b лежат на одной окружности.
Сколько может оказаться точек, хороших для данного треугольника ABC?

Решение

  Очевидно, что центр O описанной окружности Ω треугольника ABC – хорошая точка, поскольку в этом случае  B_a = C_a = A,  A_b = C_b = B  и
A_c = B_c = C.
  Рассмотрим теперь любую хорошую точку D, отличную от O. Пусть A', B', C' – проекции D на BC, CA, AB соответственно. Точки A и A_b симметричны относительно C', так же как и точки B и B_a. Значит, середины отрезков AB и A_bB_a также симметричны относительно C'; следовательно, серединный перпендикуляр к A_bB_a проходит через точку O', симметричную O относительно D (рис. слева). Аналогично, серединные перпендикуляры к A_cC_a и B_cC_b также проходят через O', при этом они не параллельны; значит, O' и является центром окружности, проходящей через шесть точек. Заметим, что O' также не совпадает с D.

  Каждая из точек D и O' равноудалена от A_b и A_c. Значит, прямая DO' является серединным перпендикуляром к A_bA_c. Но B'C' – средняя линия в треугольнике AA_bA_c, следовательно,  DO' ⊥ B'C'.  Аналогично,  DO' ⊥ A'B',  то есть точки A', B' и C' лежат на одной прямой. Значит, D лежит на Ω, а A'B'C' – её прямая Симсона (см. задачу 56934). Кроме того, эта прямая перпендикулярна прямой DO', то есть радиусу DO (рис. справа).
  Наоборот, пусть точка D окружности Ω такова, что её прямая Симсона перпендикулярна OD. Обращая рассуждения предыдущих двух абзацев, получаем, что точка O' лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам A_bB_a, B_cC_b, A_cC_a, A_bA_c, B_aB_c и C_aC_b, то есть все шесть точек равноудалены от O'. Значит, точка D – хорошая.
  Найдём теперь количество хороших точек. Пусть точка X движется по Ω с постоянной угловой скоростью. Как известно (см.задачу 56941), прямая Симсона точки X вращается со вдвое меньшей угловой скоростью в противоположном направлении. Значит, угол между радиусом OX и этой прямой меняется с полуторной скоростью, поэтому на описанной окружности существуют три хороших точки. Добавляя центр O, получаем, что хороших точек не больше четырёх.
  Осталось учесть, что некоторые из этих точек могут совпасть с вершинами. Поскольку прямая Симсона вершины A – это высота, опущенная из неё, такое происходит, если радиус OA параллелен BC, то есть если  |∠B – ∠C| = 90°.  Это может произойти и с двумя вершинами – в треугольнике с углами 30°, 30° и 120°.

Ответ

2, 3 или 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
класс
Класс	10
задача
Номер	10.4