Задача 64923

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Авторы: Белухов Н., Колев Э.

Через ортоцентр остроугольного треугольника проведены две перпендикулярные прямые. Стороны треугольника высекают на каждой из этих прямых два отрезка: один, лежащий внутри треугольника, второй – вне его. Докажите, что произведение двух внутренних отрезков равно произведению двух внешних.

Решение

Пусть одна из прямых пересекает BC, CA, AB в точках X_a, X_b, X_c, а другая – в точках Y_a, Y_b, Y_c (см. рис.). Тогда  ∠HY_aB = ∠X_bHA  и
∠HX_bA = ∠Y_aHB,  так как стороны этих углов перпендикулярны. Поэтому треугольники HBY_a и X_bAH подобны. Аналогично подобны треугольники HX_aB и Y_bAH. Значит,  AX_b·BY_a = AH·BH = AY_b·BX_a.  С другой стороны, применив теорему Менелая к треугольникам CX_aX_b, CY_aY_b и прямой AB, получим  .  Из этих трёх равенств следует, что  X_bX_c·Y_cY_a = X_cX_a·Y_bY_c.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
тур
задача
Номер	21