Основание пирамиды - ромб с острым углом в 30^o. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 60^o. Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен r.

   Решение

Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько попарно непересекающихся кругов различных радиусов. Докажите, что многоугольник можно разрезать на маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон.

   Решение

Какое из чисел больше: 31¹¹ или 17¹⁴?

   Решение

Восстановите равнобедренный треугольник ABC  (AB = AC)  по точкам I, M, H пересечения биссектрис, медиан и высот соответственно.

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Окружность Аполлония ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Восстановите равнобедренный треугольник ABC  (AB = AC)  по точкам I, M, H пересечения биссектрис, медиан и высот соответственно.

Решение

  Центр O описанной окружности треугольника лежит на продолжении HM за точку M, и  MO = ½ HM.  Кроме того, прямые BI, CI являются биссектрисами углов OBH, OCH  (∠CBH = ∠ABO = ^π/₂ – ∠C).  Следовательно,  BO : BH = CO : CH = IO : IH,  то есть точки B, C лежат на окружности Аполлония точек O и H, проходящей через I. Но центр окружности BIC лежит на описанной окружности треугольника ABC (см. задачу 53119). Таким образом, получаем следующее построение.
  Построим точку O и указанную окружность Аполлония. Затем построим окружность с центром O, проходящую через центр этой окружности. Две окружности пересекутся в точках B, C, а прямая OH вторично пересечёт описанную окружность в точке A.

Источники и прецеденты использования