Натуральные числа m₁, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что число  x = (m₂...m_n)^φ(m₁)  является решением системы
    x ≡ 1 (mod m₁),
    x ≡ 0 (mod m₂),
        ...
    x ≡ 0 (mod m_n).

   Решение

Площадь основания пирамиды равна s . Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь полученного сечения.

   Решение

Докажите, что выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы.

   Решение

Имеется замкнутая самопересекающаяся ломаная. Известно, что она пересекает каждое свое звено ровно один раз. Докажите, что число звеньев чётно.

   Решение

В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.

   Решение

Темы:    [ Числовые последовательности (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.

Решение

  Заметим, что  42 = 2·3·7,  то есть все простые множители входят в его разложение в первой степени. Следовательно, чтобы произведение первых двух чисел являлось полным квадратом, второе число должно иметь вид    где k₁ – натуральное число.
  Так как произведение второго и третьего числа – полный квадрат, то третье число, по тем же причинам, имеет вид    где k₂ – натуральное число, и так далее. Таким образом, все записанные числа, кроме первого, имеют вид    где k_i – натуральное число, отличное от единицы. Так как все числа различны, то наибольшее из чисел k_i не может быть меньше чем 20. Следовательно, одно из записанных чисел не меньше чем
42·20² > 16000.

Источники и прецеденты использования