Натуральное число N представляется в виде  N = a₁ – a₂ = b₁ – b₂ = c₁ – c₂ = d₁ – d₂,  где a₁ и a₂ – квадраты, b₁ и b₂ – кубы, c₁ и c₂ – пятые степени, а d₁ и d₂ – седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел a₁, b₁, c₁ и d₁ найдутся два равных?

   Решение

Темы:    [ Построения с помощью двусторонней линейки ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Трапеции (прочее) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне AB такую точку D, что
AD : BD = BC : AC.

Решение

Проведём прямые a, b, c, параллельные BC, CA, AB и лежащие от них на расстоянии ширины линейки с внешней стороны треугольника. Прямые a, b, BC, AC образуют ромб, диагональ которого является биссектрисой угла C. Пусть E – точка пересечения этой биссектрисы с прямой c, а F – точка пересечения диагоналей трапеции, образованной прямыми c, AB, AC и BC (см. рис.). Тогда прямая EF пересекает AB в искомой точке D.

Источники и прецеденты использования