|
|
 |
Условие
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный тогда и только тогда, когда IM : AC = IN : BD.
Решение
Будем считать, что ABCD не является трапецией. Противный случай требует лишь незначительных изменений решения.
По теореме Ньютона (см задачу 55451) I лежит на отрезке MN. Пусть λ = MI : IN. Возьмём на сторонах четырёхугольника такие точки P, Q, R и S, что
AP : PB = CQ : QB = CR : RD = DS : SA = λ.
Покажем, что I – середина отрезков PR и QS. Для этого поместим единичные массы в точки A и C, а массы λ – в B и D. Две первые массы можно заменить массой 2 в точке M, две вторые – массой 2λ в точке N, следовательно, I – центр всех четырёх масс . С другой стороны, можно заменить массы в A и B на массу 1 + λ в точке P, а две оставшихся – на такую же массу в точке R.
Так как I – середина PR, а прямые AB и CD – не параллельные касательные к окружности с центром I, то прямая PR параллельна биссектрисе одного из образованных этими прямыми углов. Аналогично, QS параллельна биссектрисе одного из углов между AD и BC. Следовательно, ABCD – вписанный тогда и только тогда, когда PR ⊥ QS. Так как PQRS – параллелограмм (со сторонами, параллельными AC и BD), это равносильно тому, что PQRS – ромб. Но PQ = QR ⇔ 1(1 + λ)AC = λ(1 + λ)BD ⇔ λ = AC : BD, что и требовалось.
