Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q (P – на прямой BM, Q – на прямой BN). Докажите, что отрезки MP и NQ равны.
Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.
Найдите геометрическом место ортоцентров (точек пересечения высот) всевозможных треугольников, вписанных в данную окружность.
Вася называет прямоугольник, стороны которого отличаются на 1, почти-квадратом. (Например, прямоугольник со сторонами 5 и 6 – это почти-квадрат.) Существует ли почти-квадрат, который можно разрезать на 2010 почти-квадратов?
При каком наибольшем n можно раскрасить числа 1, 2, ..., 14 в красный и синий цвета так, чтобы для каждого числа k = 1, 2, ..., n нашлись пара синих чисел, разность между которыми равна k, и пара красных чисел, разность между которыми тоже равна k?
|
|
 |
Условие
При каком наибольшем n можно раскрасить числа 1, 2, ..., 14 в красный и синий цвета так, чтобы для каждого числа k = 1, 2, ..., n нашлись пара синих чисел, разность между которыми равна k, и пара красных чисел, разность между которыми тоже равна k?
Решение
Оценка. Очевидно, n ≤ 12, поскольку существует лишь одна пара чисел с разностью 13.
Предположим, что требуемое возможно при n = 12. Число 12 представляется в виде разности чисел от 1 до 14 ровно двумя способами: 13 – 1 и
14 – 2. Пусть для определенности число 1 – красное. Тогда число 13 тоже красное, а числа 2 и 14 – синие. Далее, существуют три пары с разностью 11: 12 – 1, 13 – 2, 14 – 3. Пара 13 и 2 разноцветная, значит, две остальных – одноцветные, поэтому число 12 красное (как и 1), а число 3 – синее. Продолжая таким образом рассматривать разности 10, 9, 8 и 7, на каждом шаге мы будем получать, что все возможные пары, кроме двух, уже разноцветные, и поэтому цвета еще двух чисел восстанавливаются однозначно. В итоге мы получим, что числа от 2 до 7 включительно – синие, а числа от 8 до 13 – красные. Но в таком случае число 6 не представляется в виде разности ни красных, ни синих чисел. Противоречие. Следовательно, n ≤ 11.
Пример для n = 11: числа 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12 – красные, а остальные числа – синие (расположение синих и красных чисел симметрично относительно середины отрезка [1, 14]).
Ответ
При n = 11.
Замечания
Есть и другие примеры.
