Корни уравнения  x² + ax + 1 = b  – целые, отличные от нуля числа. Докажите, что число  a² + b²  является составным.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Точки A₂ и C₂ симметричны A₁ и C₁ относительно середин сторон BC и AB. Докажите, что прямая, соединяющая вершину B с центром O описанной окружности, делит отрезок A₂C₂ пополам.

   Решение

O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Прямая, проходящая через C и точку, симметричную B относительно O, пересекает основание AD в точке K. Докажите, что  S_AOK = S_AOB + S_DOK.

   Решение

Имеется набор из двух карточек: и . За одну операцию разрешается составить выражение, использующее числа на карточках, арифметические действия, скобки. Если его значение – целое неотрицательное число, то его выдают на новой карточке. (Например, имея карточки , и , можно составить выражение   :   и получить карточку или составить выражение и получить карточку .)
Как получить карточку с числом 2015  а) за 4 операции;  б) за 3 операции?

   Решение

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 5,6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Имеется набор из двух карточек: и . За одну операцию разрешается составить выражение, использующее числа на карточках, арифметические действия, скобки. Если его значение – целое неотрицательное число, то его выдают на новой карточке. (Например, имея карточки , и , можно составить выражение   :   и получить карточку или составить выражение и получить карточку .)
Как получить карточку с числом 2015  а) за 4 операции;  б) за 3 операции?

Ответ

а) Например,

.

.

Замечания

1. Чтобы решить задачу, полезно разложить 2015 на простые множители:  2015 = 5·13·31.

2. Менее чем за 3 операции получить карточку с числом 2015 невозможно.

3. 8 баллов.

Источники и прецеденты использования