Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
При каких $n$ можно замостить плоскость равными фигурами, ограниченными $n$ дугами окружностей?
Паша выбрал 2017 (не обязательно различных) натуральных чисел a1, a2, ..., a2017 и играет сам с собой в следующую игру. Изначально у него есть неограниченный запас камней и 2017 больших пустых коробок. За один ход Паша добавляет в любую коробку (по своему выбору) a1 камней, в любую из оставшихся коробок (по своему выбору) – a2 камней, ..., наконец, в оставшуюся коробку – a2017 камней. Пашина цель – добиться того, чтобы после некоторого хода во всех коробках стало поровну камней. Мог ли он выбрать числа так, чтобы цели можно было добиться за 43 хода, но нельзя – за меньшее ненулевое число ходов?
В угол вписаны три окружности $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$ (радиус $\Gamma_1$ наименьший, а радиус $\Gamma_3$ наибольший), притом $\Gamma_2$ касается $\Gamma_1$ и $\Gamma_3$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $l$ – касательная в точке $A$ к $\Gamma_1$. Рассмотрим все окружности $\omega$, касающиеся $\Gamma_1$ и $l$. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внутренних касательных к парам окружностей $\omega$ и $\Gamma_3$.
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1.
а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда x1 рационально.
б) Сколько существует значений x1, для которых эта последовательность – периодическая с периодом T (для каждого T = 2, 3, ...)?
В нашем распоряжении имеются "кирпичи", имеющие форму, которая получается следующим образом: приклеиваем к одному единичному кубу по трём его граням, имеющим общую вершину, ещё три единичных куба, так что склеиваемые грани полностью совпадают. Можно ли сложить прямоугольный параллелепипед 11×12×13 из таких "кирпичей"?
Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили – в красный цвет, если между его концами чётное число вершин, и в синий – в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках – произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?
На поверхности сферической планеты расположены четыре материка, отделённые друг от друга океаном. Назовем точку океана особой, если для нее найдутся не менее трёх ближайших (находящихся от нее на равных расстояниях) точек суши, причём все на разных материках. Какое наибольшее число особых точек может быть на этой планете?
|
|
 |
Условие
На поверхности сферической планеты расположены четыре материка, отделённые друг от друга океаном. Назовем точку океана особой, если для нее найдутся не менее трёх ближайших (находящихся от нее на равных расстояниях) точек суши, причём все на разных материках. Какое наибольшее число особых точек может быть на этой планете?
Решение
Если материки представляют собой вершины правильного тетраэдра, вписанного в сферу, то особых точек ровно четыре – это концы радиусов, проведённых из центра сферы через центры граней тетраэдра.
Покажем, что пяти и более особых точек не может быть ни при каком
расположении четырёх материков. Пусть A – особая точка, r
– расстояние от A до ближайших к ней точек суши (не менее
трёх из которых по условию лежат на разных материках). Точки океана, удалённые
от точки A менее чем на r, образуют сферическую "шапочку" H(A). При этом сферические дуги AX и BY, идущие от разных особых точек A и B к каким-то ближайшим к ним точкам суши X
и Y соответственно, могут пересекаться только по концевым точкам, то есть в случае X = Y. Действительно, пусть дуги AX и BY пересекаются в точке O и OY ≤ OX. Тогда AY < AO + OY ≤ AO + OX = AX. Это противоречит тому, что X – ближайшая к A точка суши.
Пусть есть пять особых точек A1, ..., A5. Тогда у каждой из них есть меньшая сферическая "шапочка" H'(Ai), не пересекающаяся ни с какой сферической дугой AjX, где j ≠ i и X – точка суши, ближайшая к Aj (см. рис.). Можно считать, что "шапочки" H'(Ai) попарно не пересекаются и не касаются.
Для каждой из точек A1, ..., A5 зафиксируем тройку материков, доходящих до границы ее новой "шапочки". Каким-то двум из них (скажем, A1 и A2) соответствует одна и та же тройка материков. Эти материки делят область, ограниченную окружностями "шапочек" H'(A1) и H'(A2), на три или более подобластей (если внутри материков есть заполненные океаном "дырки", то таких подобластей может быть сколько угодно), и четвёртый материк целиком лежит в одной из этих подобластей. Назовём эту подобласть Ω.
Все точки A3, A4, A5 лежат в Ω (другие подобласти заполнены океаном и граничат не более чем с двумя материками), и каждой из них соответствует одна и та же тройка материков (четвёртый и те два из первых трёх, которые граничат с Ω). Каждый материк из этой тройки соединяет какие-то две точки на окружностях "шапочек" H'(A3) и H'(A4), поэтому океан в разности Ω \ (H'(A3) ∪ H'(A4)) разбит на подобласти, каждая из которых граничит не более чем с двумя материками. Ни в одной из этих подобластей точка A5 лежать не может. Противоречие.
Ответ
4 особые точки.
