Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Можно ли раскрасить все натуральные числа, большие 1, в три цвета (каждое число – в один цвет, все три цвета должны использоваться) так, чтобы цвет произведения любых двух чисел разного цвета отличался от цвета каждого из сомножителей?
Можно ли расставить в клетках таблицы $6\times 6$ числа, среди которых нет одинаковых, так, чтобы в каждом прямоугольнике $1\times 5$ (как вертикальном, так и горизонтальном) сумма чисел была равна 2022 или 2023?
Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)
Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка K так, что середина стороны AD равноудалена от точек K и C, а середина стороны CD равноудалена от точек K и A. Точка N – середина отрезка BK. Докажите, что углы NAK и NCK равны.
Про грибы.В корзине лежат 30 грибов. Среди любых 12 из них имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?
У двух трапеций соответственно равны углы и диагонали. Верно ли, что такие трапеции равны?
|
|
 |
Условие
У двух трапеций соответственно равны углы и диагонали. Верно ли, что такие трапеции равны?
Решение 1
Рассмотрим две равнобокие трапеции с соответственно параллельными сторонами, вписанные в одну окружность (рис. слева). Тогда углы трапеций равны. По теореме синусов и диагонали этих трапеций равны.
Решение 2
Рассмотрим равносторонний треугольник ABC. Пусть A1 и
A2 – такие точки на стороне BC, а B1 и B2 – такие точки на стороне AC, что
BA1 = A2C = CB2 = AB1 (рис. справа). Тогда трапеции AB2A2B и AB1A1B – искомые.
Ответ
Неверно.
