Версия для печати
Убрать все задачи

---

Корни уравнения  x² + ax + 1 = b  – целые, отличные от нуля числа. Докажите, что число  a² + b²  является составным.

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Точки A₂ и C₂ симметричны A₁ и C₁ относительно середин сторон BC и AB. Докажите, что прямая, соединяющая вершину B с центром O описанной окружности, делит отрезок A₂C₂ пополам.

   Решение

---

O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Прямая, проходящая через C и точку, симметричную B относительно O, пересекает основание AD в точке K. Докажите, что  S_AOK = S_AOB + S_DOK.

   Решение

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Прямая, проходящая через C и точку, симметричную B относительно O, пересекает основание AD в точке K. Докажите, что  S_AOK = S_AOB + S_DOK.

Решение

  Поскольку  BC || AD,  то  S_ABD = S_ACD,  следовательно,  S_AOB = S_DOC.  Поэтому достаточно доказать, что  S_AOK = ½ S_ACD.  Пусть P и Q – середины оснований BC и AD (см. рис.). Заметим, что прямая PQ проходит через точку O.

  CQ – медиана треугольника ACD, откуда  ½ S_ACD = S_CQD = S_CQK + S_CKD.  Поскольку  CK || OQ,  то  S_CQK = S_COK,  следовательно,
S_CQK + S_CKD = S_COK + S_CKD = S_OCDK,  что и требовалось.

Замечания

Также можно с помощью аффинного преобразования перевести данную трапецию в равнобокую. Отношение площадей при этом сохраняется.

Источники и прецеденты использования