ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65235
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три окружности пересекаются в одной точке ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Точка Микеля ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты CC1 и BB1 пересекают прямую, проходящую через вершину A и параллельную прямой BC, в точках P и Q. Пусть A0 – середина стороны BC, а AA1 – высота. Прямые A0C1 и A0B1 пересекают прямую PQ в точках K и L. Докажите, что описанные окружности треугольников PQA1, KLA0, A1B1C1 и окружность с диаметром AA1 пересекаются в одной точке.


Решение

  Пусть U – точка пересечения прямых PQ и B1C1 (см. рис.).

  Докажем сначала, что в одной точке пересекаются три окружности: описанные окружности Ω1 и Ω2 треугольников PQA1 и A1B1C1 и окружность с диаметром AA1.
  Заметим, что четырёхугольник PQB1C1 – вписанный. Действительно,  ∠APC1 = ∠BCC1 = ∠BB1C1.  Кроме того, UA – касательная к описанной окружности треугольника AB1C1. Значит,  UA2 = UC1·UB1 = UP·UQ.  С другой стороны, UP·UQ – степень точки U относительно Ω1, а UC1·UB1 – степень U относительно Ω2, то есть точка U лежит на радикальной оси окружностей Ω1 и Ω2. Поэтому вторая точка T пересечения этих окружностей лежит на A1U, и  UT·UA1 = UC1·UB1 = UA².  Следовательно, UA – касательная к описанной окружности треугольника TAA1. Значит, AA1 – диаметр этой окружности.
  Осталось доказать, что T принадлежит также и описанной окружности треугольника KLA0, то есть что Tточка Микеля для прямых UL, A0L, KA0, UB1 (см. рис.).
  Для этого достаточно доказать, что T принадлежит описанной окружности треугольника UKC1 (см. задачу 56628). Действительно, точка T лежит на описанной окружности четырёхугольника A0C1B1A1 (окружности девяти точек треугольника ABC), поэтому  ∠C1TA1 = ∠C1A0C = ∠UKC1,  то есть четырёхугольник UKC1T – вписанный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 13 (2015 год)
Дата 2015-04-13
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .