Задача 65235

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три окружности пересекаются в одной точке ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Точка Микеля ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Автор: Прокопенко Д.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты CC₁ и BB₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A и параллельную прямой BC, в точках P и Q. Пусть A₀ – середина стороны BC, а AA₁ – высота. Прямые A₀C₁ и A₀B₁ пересекают прямую PQ в точках K и L. Докажите, что описанные окружности треугольников PQA₁, KLA₀, A₁B₁C₁ и окружность с диаметром AA₁ пересекаются в одной точке.

Решение

  Пусть U – точка пересечения прямых PQ и B₁C₁ (см. рис.).

  Докажем сначала, что в одной точке пересекаются три окружности: описанные окружности Ω₁ и Ω₂ треугольников PQA₁ и A₁B₁C₁ и окружность с диаметром AA₁.
  Заметим, что четырёхугольник PQB₁C₁ – вписанный. Действительно,  ∠APC₁ = ∠BCC₁ = ∠BB₁C₁.  Кроме того, UA – касательная к описанной окружности треугольника AB₁C₁. Значит,  UA² = UC₁·UB₁ = UP·UQ.  С другой стороны, UP·UQ – степень точки U относительно Ω₁, а UC₁·UB₁ – степень U относительно Ω₂, то есть точка U лежит на радикальной оси окружностей Ω₁ и Ω₂. Поэтому вторая точка T пересечения этих окружностей лежит на A₁U, и  UT·UA₁ = UC₁·UB₁ = UA².  Следовательно, UA – касательная к описанной окружности треугольника TAA₁. Значит, AA₁ – диаметр этой окружности.
  Осталось доказать, что T принадлежит также и описанной окружности треугольника KLA₀, то есть что T – точка Микеля для прямых UL, A₀L, KA₀, UB₁ (см. рис.).

  Для этого достаточно доказать, что T принадлежит описанной окружности треугольника UKC₁ (см. задачу 56628). Действительно, точка T лежит на описанной окружности четырёхугольника A₀C₁B₁A₁ (окружности девяти точек треугольника ABC), поэтому  ∠C₁TA₁ = ∠C₁A₀C = ∠UKC₁,  то есть четырёхугольник UKC₁T – вписанный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	13 (2015 год)
Дата	2015-04-13
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	6