Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
На поляне пасутся 150 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом участке количество коз изменилось, причём ровно в семь раз. Не ошибся ли он?
Дан треугольник АВС. Точка О1 – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О2 и О3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО1, ВО2 и СО3 пересекаются в одной точке.
Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке A и с концами на прямой l, не проходящей через эту точку. Доказать, что не существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы отрезок системы, равный и параллельный этому звену.
Доказать, что при нечётном n > 1 уравнение xn + yn = zn не может иметь решений в целых числах, для которых x + y – простое число.
Учительница математики предложила изменить схему голосования на конкурсе спектаклей (см. задачу 65299). По её мнению, нужно из всех 2n мам выбрать случайным образом жюри из 2m человек (2m ≤ n). Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит при таких условиях голосования.
|
|
 |
Условие
Учительница математики предложила изменить схему голосования на конкурсе спектаклей (см. задачу 65299). По её мнению, нужно из всех 2n мам выбрать случайным образом жюри из 2m человек (2m ≤ n). Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит при таких условиях голосования.
Решение
Назовём маму честной, если она голосует за лучший спектакль.
Поскольку всего нечестных мам n и столько же честных, вероятность того, что в жюри попало q нечестных мам и 2m – q честных, равнаЕсли это событие осуществилось, то судьба конкурса зависит от распределения голосов нечестных мам. Если t детей нечестных мам играет в худшем спектакле, то этот худший спектакль получит ровно t голосов, тогда как все прочие голоса числом 2m – t будут отданы лучшему спектаклю. Таким образом, лучший спектакль побеждает, если 2m – t > t, то есть если t < m.
Вероятность того, что худший спектакль получит ровно t голосов, равна вероятности
Следовательно, вероятность комбинации, при которой в жюри собирается q нечестных мам, и худший спектакль получает меньше голосов, чем лучший, равна
Суммируя эти вероятности по всем возможным распределениям нечестных мам, получаем, что искомая вероятность равна
Ответ
Замечания
Расчеты по этой формуле можно немного укоротить, если заметить, что при q < m у худшего спектакля нет шансов, и поэтому (а также из чисто комбинаторных соображений) .
