Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) угол A равен α. На стороне AB взята точка D так, что AD = AB/n. Найдите сумму n – 1 углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих сторону BC на n равных частей:
а) при n = 3;
б) при произвольном n.
Известно, что 5(а – 1) = b + a². Сравните числа а и b.
Даны натуральное число n > 3 и положительные числа x1, x2, ..., xn, произведение которых равно 1.
Докажите неравенство
Найдите наименьшее значение функции y = (x-21)ex-20 на отрезке [19;21] .
Найдите наименьшее натуральное число, которое начинается (в десятичной записи) на 2016 и делится на 2017.
Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
Найдите наибольшее значение функции y = 16x-4 sin x+8 на отрезке [-;0] .
Найдите все такие простые числа p и q , что p + q = (p – q)³.
Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.
Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.
Пусть AD – биссектриса треугольника ABC и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC , в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD , DC и MN касается прямой l .
Назовём раскраску доски 8×8 в три цвета хорошей, если в любом уголке из пяти клеток присутствуют клетки всех трёх цветов. (Уголок из пяти клеток – это фигура, получающаяся из квадрата 3×3 вырезанием квадрата 2×2.) Докажите, что количество хороших раскрасок не меньше чем 68.
Сто натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Возможно ли, что каждые два из этих чисел взаимно просты?
|
|
 |
Условие
Сто натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Возможно ли, что каждые два из этих чисел взаимно просты?
Решение
Например, такими являются числа 1, 1 + 99!, 1 + 2·99!, ..., 1 + 99·99!. Действительно, пусть два числа имеют общий простой делитель p. Тогда p делит их разность, то есть число вида n·99!, где n < 100. Поэтому и p < 100. Но при делении на такое число все числа дают в остатке 1. Противоречие.
Ответ
Возможно.
Замечания
4 балла
