Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
a и b – две данные стороны треугольника.
Как подобрать третью сторону c так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей с этой стороной делили её на три равных отрезка?
При каких a и b такая сторона существует?
(Рассматривается вневписанная окружность, касающаяся стороны c и продолжений сторон a и b.)
На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли
одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002.
Какие числа остались на доске?
Найдите все такие тройки простых чисел p, q, r, что четвёртая степень каждого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных.
Можно ли клетки доски 5×5 покрасить в 4 цвета так, чтобы клетки, стоящие на пересечении любых двух строк и любых двух столбцов, были покрашены не менее чем в три цвета?
Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать k различных чисел с суммой 100, если
а) k = 9; б) k = 8?
|
|
 |
Условие
Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать k различных чисел с суммой 100, если
а) k = 9; б) k = 8?
Решение
а) Удалим числа 1, 2, ..., 9. Тогда сумма даже девяти наименьших из оставшихся чисел (10 + 11 + ... + 18 = 126) больше 100.
б) Рассмотрим 12 пар чисел, дающих в сумме 25: (1, 24), (2, 23), ..., (12, 13). После удаления 8 чисел останется не меньше четырёх нетронутых пар. Они и дадут в сумме 100.
Ответ
а) Необязательно; б) обязательно.
Замечания
Баллы: 2 + 4
