Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что для любого натурального числа n
Продолжения сторон KN и LM выпуклого четырёхугольника KLMN пересекаются в точке P, а продолжения сторон KL и MN – в точке Q. Отрезок PQ перпендикулярен биссектрисе угла KQN. Найдите сторону KL, если KQ = 12, NQ = 8, а площадь четырёхугольника KLMN равна площади треугольника LQM.
Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали
нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только
сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
а) достаточно четырёх взвешиваний и
б) недостаточно трёх.
На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка D. Через D и A проведены окружности ω1 и ω2 так, что прямая BA касается ω1, прямая CA касается ω2. BX – вторая касательная, проведённая из точки B к окружности ω1, CY – вторая касательная, проведённая из точки C к окружности ω2. Докажите, что описанная окружность треугольника XDY касается прямой BC.
Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей черных клеток равна сумме площадей белых клеток.
На сторонах угла ABC отмечены точки М и K так, что углы BMC и BKA равны, BM = BK, AB = 15, BK = 8, CM = 9.
Найдите периметр треугольника СOK, где O – точка пересечения прямых AK и СМ.
Точки M и N лежат на сторонах соответственно AB и AC треугольника ABC, причём AM = CN и AN = BM. Докажите, что площадь четырёхугольника BMNC по крайней мере в три раза больше площади треугольника AMN.
Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Из вершин A, B, C, D опущены перпендикуляры AA1, BB1, CC1, DD1 на прямые SC, SD, SA, SB соответственно. Оказалось, что точки S, A1, B1, C1, D1 различны и лежат на одной сфере. Докажите, что точки A1, B1, C1, D1 лежат в одной плоскости.
Арбуз имеет форму шара диаметра 20 см. Вася сделал длинным ножом три взаимно перпендикулярных плоских надреза глубиной h (надрез – это сегмент круга, h – высота сегмента, плоскости надрезов попарно перпендикулярны). Обязательно ли при этом арбуз разделится хотя бы на два куска, если
а) h = 17 см;
б) h = 18 см?
|
|
 |
Условие
Арбуз имеет форму шара диаметра 20 см. Вася сделал длинным ножом три взаимно перпендикулярных плоских надреза глубиной h (надрез – это сегмент круга, h – высота сегмента, плоскости надрезов попарно перпендикулярны). Обязательно ли при этом арбуз разделится хотя бы на два куска, если
а) h = 17 см;
б) h = 18 см?
Решение
Если арбуз распался на части, то и его поверхность распалась на части. Поэтому достаточно провести на сфере три дуги нужных размеров так, чтобы она не распалась на части. Точки пересечения пар плоскостей надрезов со сферой назовём узлами, у нас их будет шесть. Очевидно, дуги могут соединяться только в узлах.
а) Пусть плоскости трёх надрезов проходят через центр O шара. Они пересекают сферу по большим окружностям. Узлы делят каждый из них на четыре равные части. Пусть концы дуги одного разреза – A и B. Треугольник OAB – равнобедренный с боковыми сторонами 10 и высотой 7. Половина его основания равна поэтому угол AOB – тупой. Значит, надрез можно провести так, чтобы он прошел только через два узла.
Разобьём узлы на пары соседних. Тогда дуги вообще не пересекутся, значит, сфера не распадётся.
б) Пусть одна плоскость надреза проходит через центр O шара, а две другие – на расстоянии от O. Первая пересекает шар по кругу радиуса 10, две другие – по кругам радиуса
. Эти два малых круга пересекают большой круг перпендикулярными диаметрами X+X– и Y+Y– (см. рис.).
Ответ
Не обязательно.
Замечания
1. Легко проверить, что конструкция п. б) позволяет проводить надрезы даже глубиной h = 18,9 см без разделения арбуза на части. Можно показать, что при h = 19 см уже никакая конструкция не поможет – арбуз развалится.
2.Баллы: 6 + 6.
