Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Пусть a и b – действительные числа. Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел равенством
Докажите формулу Эйлера:
ea+ib = ea(cos b + i sin b).
Найдите значение дроби В*А*Р*Е*Н*Ь*Е / К*А*Р*Л*С*О*Н, где разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения.
В остроугольном треугольнике ABC проведены
высоты
AA1, BB1 и CC1. Докажите, что периметр
треугольника A1B1C1 не превосходит половины периметра
треугольника ABC.
Имеются два кошелька и одна монета. Внутри первого кошелька одна монета, и внутри второго кошелька одна монета. Как такое может быть?
Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна d , а ребра, исходящие из одной вершины относятся как m:n:p .
Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Докажите равенство треугольников ACO и DBO, если известно, что ∠ACO = ∠DBO и BO = OC.
На плоскости даны три окружности S1, S2 и S3. Докажите, что если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке Q, то третья радикальная ось также проходит через эту точку.
Точка Q называется радикальным центром окружностей S1, S2 и S3.
С помощью одного циркуля
а) постройте точки пересечения данной окружности S
и прямой, проходящей через данные точки A и B;
б) постройте точку пересечения прямых A1B1 и A2B2, где A1, B1, A2 и B2 – данные точки.
Решите неравенство .
|
|
 |
Условие
Решите неравенство .
Решение
1) Заметим, что x ≠ 0 и . Так как |x + 1/x| ≥ 2, то |t| ≤ ½ < π/2. Следовательно, аргумент t на единичной окружности лежит в I или в IV координатной четверти.
2) Если x > 0, то 0 < t ≤ ½, то есть t лежит в I четверти, поэтому sin t > 0 и cos t > 0. Кроме того, 1/t > 0, значит, sin t + 1/t cos t > 0. Таким образом, при всех x > 0 исходное неравенство верно.
3) Если x > 0, то –1/2 ≤ t < 0, то есть t лежит в IV четверти, поэтому sin t < 0 и cos t > 0. 1/t < 0, значит, sin t + 1/t cos t < 0. Таким образом, при всех
x < 0 исходное неравенство неверно.
Ответ
(0, +∞).
