В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 15 и катет BC = 20. На гипотенузе AB отложен отрезок AD, равный 4, и точка D соединена с C. Найдите CD.

   Решение

В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D; прямая, проведённая через точку D параллельно CA, пересекает сторону AB в точке E; прямая, проведённая через точку E параллельно BC, пересекает сторону AC в F. Докажите, что  EA = FC.

   Решение

Сторона треугольника равна 2, а две другие стороны образуют угол в 30^o и относятся как 1 : 2. Найдите эти стороны.

   Решение

Через вершину C параллелограмма ABCD проведена произвольная прямая, пересекающая продолжения сторон AB и AD в точках K и M соответственно. Докажите, что произведение BK·DM не зависит от того, как проведена эта прямая.

   Решение

Найдите периметр четырехугольника ABCD, в котором AB = CD = a, BAD = BCD = < 90^o, BC AD.

   Решение

В прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 26, вписана окружность радиуса 4. Найдите периметр треугольника.

   Решение

Докажите, что  a(b + c) = (r + r_a)(4R + r - r_a) и  a(b - c) = (r_b - r_c)(4R - r_b - r_c).

   Решение

Найдите все натуральные n и k, удовлетворяющие равенству  k⁵ + 5n⁴ = 81k.

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите все натуральные n и k, удовлетворяющие равенству  k⁵ + 5n⁴ = 81k.

Решение

  5n⁴ = k(9 + k²)(3 + k)(3 – k).  Левая часть этого равенства положительна при любом натуральном значении n, значит, положительной должна быть и правая часть. Следовательно, достаточно проверить два натуральных значения k:  k = 1  и  k = 2.
  1) Если  k = 1,  то  5n⁴ = 80,  то есть  n = 2.
  2) Если  k = 2,  то  5n⁴ = 130.  Таких натуральных n не существует.

Ответ

n = 2,  k = 1.

Источники и прецеденты использования